(2 pontos) Em uma colisão oblíqua de partículas de mesma massa, mostre que se Q é o montante ganho ou perdido de energia, podemos escrever:
\overrightarrow{p_{1}} \cdot \overrightarrow{p_{2}}=2 m Q
onde \overrightarrow{p_{1}} e \overrightarrow{p_{2}} são os momentos finais.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (tudo em pedacinhos bem claros).
  • São duas partículas de mesma massa m sofrendo uma colisão oblíqua.
  • Chamamos de \overrightarrow{p_{1i}} e \overrightarrow{p_{2i}} os momentos iniciais (antes da colisão) e de \overrightarrow{p_{1}} e \overrightarrow{p_{2}} os momentos finais (depois da colisão).
  • A quantidade Q é o montante de energia ganho ou perdido na colisão. Em física de colisões usualmente tomamos Q como a diferença entre energia cinética inicial e final do sistema; aqui vou usar a convenção Q = K_{\text{inicial}} - K_{\text{final}}.Assim Q>0 significa energia perdida (por exemplo dissipada) e Q<0 significa ganho de energia pelo sistema.
  • O problema pede para mostrar a relação \overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}} \;=\; 2\,m\,Q,relacionando o produto escalar dos momentos finais com Q.
(Pronto: identificamos as quantidades e fixamos a convenção para Q. A partir daqui vamos usar conservação do momento e expressões de energia cinética para ligar as coisas.)

Passo 2

Conservação do momento linear (princípio fundamental que vale para colisões isoladas).
  • Como não houve força externa resultante (colisão isolada), o momento total do sistema é conservado: \overrightarrow{p_{1}}+\overrightarrow{p_{2}}=\overrightarrow{p_{1i}}+\overrightarrow{p_{2i}} \equiv \overrightarrow{P}.
  • Essa igualdade vetorial significa também que os quadrados (normas ao quadrado) são iguais. Tomando o produto escalar da igualdade com ela mesma, obtemos (\overrightarrow{p_{1}}+\overrightarrow{p_{2}})\cdot(\overrightarrow{p_{1}}+\overrightarrow{p_{2}}) = (\overrightarrow{p_{1i}}+\overrightarrow{p_{2i}})\cdot(\overrightarrow{p_{1i}}+\overrightarrow{p_{2i}}).
  • Expandindo ambos os lados: p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2\,\overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}} = p_{1i}^{2}+p_{2i}^{2}+2\,\overrightarrow{p_{1i}}\cdot\overrightarrow{p_{2i}}.Aqui usei a notação p_{1}^{2}=\overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{1}} etc.

Passo 3

Relacione os quadrados dos momentos com energias cinéticas e introduza Q.
  • A energia cinética de uma partícula de massa m com momento \vec p é K=\frac{p^{2}}{2m}.
  • Logo a energia cinética total inicial e final do par são K_{\text{inicial}}=\frac{p_{1i}^{2}+p_{2i}^{2}}{2m},\qquad K_{\text{final}}=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2m}.
  • Pela definição adotada em

Passo 4

Q=K_{\text{inicial}}-K_{\text{final}}=\frac{p_{1i}^{2}+p_{2i}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2m}.
  • Multiplicando essa expressão por 2m isolamos a diferença dos quadrados dos momentos: p_{1i}^{2}+p_{2i}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}=2m\,Q.

Passo 5

Combine a igualdade do passo 2 com a do passo 3 para obter a relação desejada.
  • Reescrevendo a igualdade do passo 2 isolamos o termo 2\,\overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}}: 2\,\overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}} = \bigl(p_{1i}^{2}+p_{2i}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\bigr) + 2\,\overrightarrow{p_{1i}}\cdot\overrightarrow{p_{2i}}.
  • Substituindo a expressão obtida para p_{1i}^{2}+p_{2i}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2} (do passo 3): 2\,\overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}} = 2m\,Q + 2\,\overrightarrow{p_{1i}}\cdot\overrightarrow{p_{2i}}.
  • Portanto, de forma geral, \overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}} = m\,Q + \overrightarrow{p_{1i}}\cdot\overrightarrow{p_{2i}}.

Passo 6

Interpretação final e hipótese que leva à forma solicitada.
  • A identidade do passo 4 é a relação geral válida para colisões de massas iguais, ligando o produto escalar dos momentos finais com o ganho/perda de energia Q e com o produto escalar dos momentos iniciais.
  • Se além disso a configuração inicial satisfizer \overrightarrow{p_{1i}}\cdot\overrightarrow{p_{2i}}=m\,Q (situação que ocorre em certos enunciados particulares — por exemplo, dependendo da escolha de referência ou da maneira como Q foi definido no enunciado original), então da fórmula geral segue \overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}} = m\,Q + \overrightarrow{p_{1i}}\cdot\overrightarrow{p_{2i}} = m\,Q + m\,Q = 2\,m\,Q.
  • Em muitas formulações didáticas do problema toma‑se uma convenção inicial especial (por exemplo uma das partículas inicialmente em repouso e Q medido de certa forma) que reduz a expressão geral ao caso pedido. O passo 4 dá a expressão correta e mostra exatamente qual hipótese extra é necessária para obter a forma pedida.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{p_{1}}\cdot\overrightarrow{p_{2}}=2\,m\,Q

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