Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 \mathrm{~m} de comprimento e diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 \mathrm{~mm} e 60 \mathrm{~mm}, foi submetida ao ensaio de torção. Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 180 \mathrm{MPa}?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular vazada se a tensão de cisalhamento não deve exceder 180\\ \mathrm{MPa}?”
Informações dadas (peguei estes valores do enunciado e da imagem):
  • Comprimento da barra: 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo: 60\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interno: 40\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão de cisalhamento máxima permitida: 180\\ \mathrm{MPa}.
Observação útil já aqui: o comprimento 1{,}5\\ \mathrm{m} não entra diretamente na fórmula que relaciona torque com tensão de cisalhamento máxima — a resposta depende apenas da geometria da seção (diâmetros) e das propriedades estáticas (tensão limite).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, devagarzinho): quando uma barra circular é submetida a torque T, aparece uma tensão de cisalhamento que varia radialmente. O maior valor dessa tensão ocorre na superfície externa (no raio externo). A relação entre o torque e a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima admissível (no nosso caso 180\\ \mathrm{MPa});
  • T é o torque aplicado (o que queremos achar);
  • c é o raio externo da seção (distância do centro até a fibra onde a tensão é máxima);
  • J é o segundo momento polar de área (também chamado de momento polar de inércia) da seção transversal.
Explicando cada variável com jeitinho:
  • c para uma barra com diâmetro externo d_o é c=\dfrac{d_o}{2}.
  • Para uma seção circular vazada (anel), o momento polar J vale
J=\frac{\pi}{32}\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr),
onde d_o e d_i são, respectivamente, os diâmetros externo e interno. Essa fórmula vem de que, para um círculo sólido J=(\pi/32)d^{4} e subtrai-se a parte vazada.
Rearranjando a fórmula para encontrar T:
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Vamos aplicar isso com os números do problema.

Passo 3

Converter os dados para o SI e calcular c e J.
Diâmetros em metros:
d_o=60\\ \mathrm{mm}=0{,}060\\ \mathrm{m},\qquad d_i=40\\ \mathrm{mm}=0{,}040\\ \mathrm{m}.
Raio externo:
c=\frac{d_o}{2}=\frac{0{,}060}{2}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
Calcular d_o^{4}-d_i^{4}. Primeiro as potências:
d_o^{4}=(0{,}060)^{4}=1{,}296\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}},
d_i^{4}=(0{,}040)^{4}=2{,}56\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
Subtraindo:
d_o^{4}-d_i^{4}=1{,}296\times10^{-5}-2{,}56\times10^{-6}=1{,}04\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
Agora J:
J=\frac{\pi}{32}\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr)=\frac{\pi}{32}\times 1{,}04\times10^{-5}.
Calculemos numericamente:
J\approx \frac{3{,}14159265\times 1{,}04\times10^{-5}}{32}\approx 1{,}02102\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do torque:
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}.
Substituindo \tau_{\max}=180\\ \mathrm{MPa}=180\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}, J\approx1{,}02102\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}} e c=0{,}030\\ \mathrm{m}:
T=\frac{180\times10^{6}\times 1{,}02102\times10^{-6}}{0{,}030}.
Calcule passo a passo: o produto no numerador é
180\times10^{6}\times 1{,}02102\times10^{-6}\approx 183{,}782\\ \mathrm{N\cdot m}.
Dividindo por 0{,}030:
T\approx \frac{183{,}782}{0{,}030}\approx 6{,}126\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Ou seja, aproximadamente 6{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e plausibilidade: usamos SI (Pa = N/m^2, J em m^4, c em m) e obtivemos torque em N·m. O valor de alguns kN·m para uma barra com 60 mm externo e 40 mm interno submetida a 180 MPa de cisalhamento é razoável.

Resposta

T \approx 6{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}

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