A empilhadeira pesa 3.500 lb e pode transportar um recipiente de carga de 800 lb . Ela possui duas rodas dianteiras e duas rodas traseiras. (a) Determinar as forças de contato entre as rodas e o piso.
(b) Qual é o peso que pode ser carregado antes que a empilhadeira comece a pender para frente sobre as rodas dianteiras?

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações numéricas:
  • O peso da empilhadeira (própria) é W_f = 3500\\ \mathrm{lb}.
  • O recipiente de carga pesa 800\\ \mathrm{lb} (vou chamar esse valor de W_l quando for necessário usar o número).
O que é pedido:
(a) Determinar as forças de contato entre as rodas e o piso — isto é, as reações verticais nas rodas dianteiras e traseiras quando a empilhadeira está carregada com 800\\ \mathrm{lb}.
(b) Determinar o peso máximo que pode ser carregado antes que a empilhadeira comece a pender para frente sobre as rodas dianteiras (condição de tombamento para frente).
Informações importantes que faltam no enunciado e que são necessárias para obter valores numéricos:
  • A distância entre os eixos dianteiro e traseiro (comprimento da base de apoio, que vou chamar de L).
  • A posição do centro de gravidade da empilhadeira em relação a um dos eixos (por exemplo, a distância do centro de gravidade da empilhadeira até o eixo traseiro; vou chamar de a).
  • A posição do centro da carga (distância do ponto de aplicação da carga até o eixo traseiro; vou chamar de b). Frequentemente a carga fica adiante do eixo dianteiro, então b pode ser maior que L.
Sem L, a e b não é possível produzir respostas numéricas. Vou, então, explicar passo a passo a teoria e dar as fórmulas gerais (em termos de L,a,b) que permitem calcular (a) e (b) assim que esses dados forem conhecidos. Também explicarei como interpretar as fórmulas na prova.

Passo 2

Montando o problema de estática: reações e equações de equilíbrio.
Conceitos fundamentais (explicação curta e prática):
  • Em equilíbrio estático, a soma das forças verticais é zero e a soma dos momentos (torques) em qualquer ponto é zero.
  • As reações nas rodas dianteiras e traseiras (somadas, cada par) são forças verticais de contato com o piso. Vou chamar:
    • R_r = reação total nas rodas traseiras (soma das 2 rodas traseiras),
    • R_f = reação total nas rodas dianteiras (soma das 2 rodas dianteiras).
  • Distâncias (medidas ao longo do chão, como é usual em problemas de empilhadeira):
    • L = distância entre os eixos traseiro e dianteiro (wheelbase).
    • a = distância do eixo traseiro até o centro de gravidade (CG) da empilhadeira (sem carga).
    • b = distância do eixo traseiro até o ponto de aplicação da carga (por exemplo, ponta do garfo ou centro do recipiente).
Variáveis numéricas conhecidas do enunciado:
  • W_f = 3500\\ \mathrm{lb}.
  • Para a parte (a) usando a carga do enunciado, W_l = 800\\ \mathrm{lb}.
Equações fundamentais de equilíbrio vertical (explicação do porquê):
  • Soma das forças verticais = 0 porque não há aceleração vertical: R_r + R_f = W_f + W_l.Aqui W_f e W_l são forças verticais para baixo (pesos), e R_r,R_f são para cima.

Passo 3

Equilíbrio de momentos — como usar e por quê.
Escolhe-se um ponto para somar momentos. Uma escolha conveniente é o eixo traseiro (ponto onde R_r atua), porque o momento de R_r em relação a esse ponto é zero (evita trabalhar com R_r na equação de momentos).
Somando momentos em torno do eixo traseiro (torques positivos no sentido anti-horário, por exemplo):
  • A reação dianteira R_f produz momento \;R_f \,L\; (braço L).
  • O peso da empilhadeira W_f produz momento \;W_f \,a\; no sentido horário (subtrai na equação).
  • O peso da carga W_l produz momento \;W_l \,b\; no sentido horário.
Equilíbrio de momentos:
R_f\,L - W_f\,a - W_l\,b = 0.
Dessa equação, isolamos R_f:
R_f = \frac{W_f\,a + W_l\,b}{L}.
Esse é o passo-chave: com a,b,L conhecidos e os pesos conhecidos, obtém-se R_f. Depois usa-se a soma vertical para obter R_r.

Passo 4

Expressão para R_r e interpretação.
Usando a soma das forças verticais:
R_r = W_f + W_l - R_f.
Substituindo a expressão de R_f, tem-se
R_r = W_f + W_l - \frac{W_f\,a + W_l\,b}{L}.
Interpretação prática:
  • Se R_r ficar muito pequena ou nula, a empilhadeira está próxima de tombar para frente.
  • Se R_r se tornar negativa pelo cálculo, significa que com esses valores assumidos a empilhadeira não estaria em equilíbrio com ambas as rodas em contato — na prática isso indica que a empilhadeira teria pendido para frente (a hipótese de contato nas quatro rodas deixou de ser válida).
Observação para a prova: ao aplicar essas fórmulas no exame, sempre desenhe o diagrama de forças e marque claramente a,b,L antes de aplicar as equações. Evita erros de sinais e de dedos nas distâncias.

Passo 5

Condição de tombamento para frente — dedução do peso máximo que produz tombamento.
Definição de tombamento para frente (condição limite):
  • A empilhadeira começa a pender para frente sobre as rodas dianteiras quando a reação nas rodas traseiras R_r atinge zero. No instante limite de tombamento para frente, R_r = 0 e toda a carga vertical é suportada pelas rodas dianteiras.
Para encontrar o W_l máximo (chamarei de W_{l,\max}) que causa esse instante limite, imponha R_r=0 nas equações. Usando a equação de momentos em torno do eixo traseiro (como antes):
R_f\,L - W_f\,a - W_{l,\max}\,b = 0,
e no limite R_f = W_f + W_{l,\max}. Substituindo:
\bigl(W_f + W_{l,\max}\bigr)L - W_f\,a - W_{l,\max}\,b = 0.
Organizando para isolar W_{l,\max}:
W_{l,\max}\,(L - b) = W_f\,(a - L).
Multiplicando os dois lados por -1 e rearranjando de forma mais conveniente:
W_{l,\max} = \frac{W_f\,(L - a)}{b - L}.
Comentário sobre o sinal e a interpretação:
  • Para que W_{l,\max} seja positivo (peso máximo positivo), é necessário que b > L (ou seja, o ponto de aplicação da carga esteja além do eixo dianteiro quando medido desde o eixo traseiro). Isso corresponde ao caso prático em que a carga se apoia à frente do eixo dianteiro — é essa situação que provoca tip-over para a frente.
  • Se b \le L (isto é, a carga está entre os eixos ou atrás do eixo dianteiro), então a expressão dá W_{l,\max} \le 0 ou indefinida, o que significa que tombamento para frente não ocorrerá simplesmente movendo mais peso para a frente dentro da base de apoio (ou seja, a carga precisa estar mais adiante, além do eixo dianteiro, para provocar tombamento frontal).
  • Se b = L (carga aplicada exatamente na vertical do eixo dianteiro), o denominador b-L é zero e a fórmula indica que qualquer aumento de W_l simples tende a gerar tombamento — na prática isto significa que o braço de suporte da carga fica além do apoio e é uma condição limite muito sensível.

Passo 6

Como usar isso num exame (passo-a-passo prático):
  1. Identifique e desenhe o eixo traseiro e dianteiro, marque L,a,b.
  2. Substitua W_f=3500\\ \mathrm{lb} e W_l=800\\ \mathrm{lb} nas fórmulas abaixo para obter R_f e R_r (parte a).
  3. Para a parte (b) use a fórmula de W_{l,\max} acima. Verifique o sinal de b-L para garantir que a interpretação física faz sentido.
  4. Se o problema der a,b,L em unidades como polegadas ou pés, use unidades consistentes (distâncias em mesma unidade) e mantenha pesos em lb.
Exemplo ilustrativo (apenas para treinar — NÃO é a resposta do enunciado porque estes valores são inventados):
  • Suponha L=60\\ \text{in}, a=30\\ \text{in}, b=72\\ \text{in}. Então R_f=\frac{3500\cdot30 + 800\cdot72}{60},\qquad R_r=3500+800-R_f,e W_{l,\max}=\frac{3500(60-30)}{72-60}=\frac{3500\cdot30}{12}.(Isto é só para ver o método; os números do problema real só saem com os L,a,b corretos.)

Passo 7

Resumo final e observações de segurança (curto):
  • Sem as distâncias geométricas L,a,b não é possível dar valores numéricos para as reações pedidas em (a) nem para o peso de tombamento em (b).
  • As fórmulas a memorizar e utilizar na prova são as que deduzimos: R_f=\dfrac{W_f a + W_l b}{L}, R_r=W_f+W_l-R_f e W_{l,\max}=\dfrac{W_f(L-a)}{b-L} (com a interpretação de que b>L para tombamento frontal).

Resposta

(a) Não é possível dar valores numéricos porque faltam as distâncias geométricas L (wheelbase), a (distância do eixo traseiro ao CG da empilhadeira) e b (distância do eixo traseiro ao centro da carga). As reações em termos dessas grandezas são:
R_f=\frac{W_f\,a+W_l\,b}{L}, \qquad R_r=W_f+W_l-R_f.
(b) O peso máximo da carga que provoca tombamento para frente (condição R_r=0) é
W_{l,\max}=\frac{W_f\,(L-a)}{b-L},
sendo necessário que b>L para que haja tombamento frontal (caso b\le L, a carga entre os eixos não provoca tombamento para frente).

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