A empilhadeira pesa 3.500 lb e pode transportar um recipiente de carga de 800 lb . Ela possui duas rodas dianteiras e duas rodas traseiras. (a) Determinar as forças de contato entre as rodas e o piso.
(b) Qual é o peso que pode ser carregado antes que a empilhadeira comece a pender para frente sobre as rodas dianteiras?
(b) Qual é o peso que pode ser carregado antes que a empilhadeira comece a pender para frente sobre as rodas dianteiras?
Passo 1
O enunciado nos dá duas informações numéricas:
- O peso da empilhadeira (própria) é
. - O recipiente de carga pesa
(vou chamar esse valor de quando for necessário usar o número).
O que é pedido:
(a) Determinar as forças de contato entre as rodas e o piso — isto é, as reações verticais nas rodas dianteiras e traseiras quando a empilhadeira está carregada com .
(b) Determinar o peso máximo que pode ser carregado antes que a empilhadeira comece a pender para frente sobre as rodas dianteiras (condição de tombamento para frente).
(a) Determinar as forças de contato entre as rodas e o piso — isto é, as reações verticais nas rodas dianteiras e traseiras quando a empilhadeira está carregada com
(b) Determinar o peso máximo que pode ser carregado antes que a empilhadeira comece a pender para frente sobre as rodas dianteiras (condição de tombamento para frente).
Informações importantes que faltam no enunciado e que são necessárias para obter valores numéricos:
- A distância entre os eixos dianteiro e traseiro (comprimento da base de apoio, que vou chamar de
). - A posição do centro de gravidade da empilhadeira em relação a um dos eixos (por exemplo, a distância do centro de gravidade da empilhadeira até o eixo traseiro; vou chamar de
). - A posição do centro da carga (distância do ponto de aplicação da carga até o eixo traseiro; vou chamar de
). Frequentemente a carga fica adiante do eixo dianteiro, então pode ser maior que .
Sem
,
e
não é possível produzir respostas numéricas. Vou, então, explicar passo a passo a teoria e dar as fórmulas gerais (em termos de
) que permitem calcular (a) e (b) assim que esses dados forem conhecidos. Também explicarei como interpretar as fórmulas na prova.
Passo 2
Montando o problema de estática: reações e equações de equilíbrio.
Conceitos fundamentais (explicação curta e prática):
- Em equilíbrio estático, a soma das forças verticais é zero e a soma dos momentos (torques) em qualquer ponto é zero.
- As reações nas rodas dianteiras e traseiras (somadas, cada par) são forças verticais de contato com o piso. Vou chamar:
-
= reação total nas rodas traseiras (soma das 2 rodas traseiras), -
= reação total nas rodas dianteiras (soma das 2 rodas dianteiras).
-
- Distâncias (medidas ao longo do chão, como é usual em problemas de empilhadeira):
-
= distância entre os eixos traseiro e dianteiro (wheelbase). -
= distância do eixo traseiro até o centro de gravidade (CG) da empilhadeira (sem carga). -
= distância do eixo traseiro até o ponto de aplicação da carga (por exemplo, ponta do garfo ou centro do recipiente).
-
Variáveis numéricas conhecidas do enunciado:
-
. - Para a parte (a) usando a carga do enunciado,
.
Equações fundamentais de equilíbrio vertical (explicação do porquê):
- Soma das forças verticais = 0 porque não há aceleração vertical:
Aqui e são forças verticais para baixo (pesos), e são para cima.
Passo 3
Equilíbrio de momentos — como usar e por quê.
Escolhe-se um ponto para somar momentos. Uma escolha conveniente é o eixo traseiro (ponto onde
atua), porque o momento de
em relação a esse ponto é zero (evita trabalhar com
na equação de momentos).
Somando momentos em torno do eixo traseiro (torques positivos no sentido anti-horário, por exemplo):
- A reação dianteira
produz momento (braço ). - O peso da empilhadeira
produz momento no sentido horário (subtrai na equação). - O peso da carga
produz momento no sentido horário.
Equilíbrio de momentos:
Dessa equação, isolamos
:
Esse é o passo-chave: com
conhecidos e os pesos conhecidos, obtém-se
. Depois usa-se a soma vertical para obter
.
Passo 4
Expressão para
e interpretação.
Usando a soma das forças verticais:
Substituindo a expressão de
, tem-se
Interpretação prática:
- Se
ficar muito pequena ou nula, a empilhadeira está próxima de tombar para frente. - Se
se tornar negativa pelo cálculo, significa que com esses valores assumidos a empilhadeira não estaria em equilíbrio com ambas as rodas em contato — na prática isso indica que a empilhadeira teria pendido para frente (a hipótese de contato nas quatro rodas deixou de ser válida).
Observação para a prova: ao aplicar essas fórmulas no exame, sempre desenhe o diagrama de forças e marque claramente
antes de aplicar as equações. Evita erros de sinais e de dedos nas distâncias.
Passo 5
Condição de tombamento para frente — dedução do peso máximo que produz tombamento.
Definição de tombamento para frente (condição limite):
- A empilhadeira começa a pender para frente sobre as rodas dianteiras quando a reação nas rodas traseiras
atinge zero. No instante limite de tombamento para frente, e toda a carga vertical é suportada pelas rodas dianteiras.
Para encontrar o
máximo (chamarei de
) que causa esse instante limite, imponha
nas equações. Usando a equação de momentos em torno do eixo traseiro (como antes):
e no limite
. Substituindo:
Organizando para isolar
:
Multiplicando os dois lados por
e rearranjando de forma mais conveniente:
Comentário sobre o sinal e a interpretação:
- Para que
seja positivo (peso máximo positivo), é necessário que (ou seja, o ponto de aplicação da carga esteja além do eixo dianteiro quando medido desde o eixo traseiro). Isso corresponde ao caso prático em que a carga se apoia à frente do eixo dianteiro — é essa situação que provoca tip-over para a frente. - Se
(isto é, a carga está entre os eixos ou atrás do eixo dianteiro), então a expressão dá ou indefinida, o que significa que tombamento para frente não ocorrerá simplesmente movendo mais peso para a frente dentro da base de apoio (ou seja, a carga precisa estar mais adiante, além do eixo dianteiro, para provocar tombamento frontal). - Se
(carga aplicada exatamente na vertical do eixo dianteiro), o denominador é zero e a fórmula indica que qualquer aumento de simples tende a gerar tombamento — na prática isto significa que o braço de suporte da carga fica além do apoio e é uma condição limite muito sensível.
Passo 6
Como usar isso num exame (passo-a-passo prático):
- Identifique e desenhe o eixo traseiro e dianteiro, marque
. - Substitua
e nas fórmulas abaixo para obter e (parte a). - Para a parte (b) use a fórmula de
acima. Verifique o sinal de para garantir que a interpretação física faz sentido. - Se o problema der
em unidades como polegadas ou pés, use unidades consistentes (distâncias em mesma unidade) e mantenha pesos em lb.
Exemplo ilustrativo (apenas para treinar — NÃO é a resposta do enunciado porque estes valores são inventados):
- Suponha
, , . Então e (Isto é só para ver o método; os números do problema real só saem com os corretos.)
Passo 7
Resumo final e observações de segurança (curto):
- Sem as distâncias geométricas
não é possível dar valores numéricos para as reações pedidas em (a) nem para o peso de tombamento em (b). - As fórmulas a memorizar e utilizar na prova são as que deduzimos:
, e (com a interpretação de que para tombamento frontal).
Resposta
(a) Não é possível dar valores numéricos porque faltam as distâncias geométricas
(wheelbase),
(distância do eixo traseiro ao CG da empilhadeira) e
(distância do eixo traseiro ao centro da carga). As reações em termos dessas grandezas são:
(b) O peso máximo da carga que provoca tombamento para frente (condição
) é
sendo necessário que
para que haja tombamento frontal (caso
, a carga entre os eixos não provoca tombamento para frente).