( 6,5 pontos) Uma concessionária de energia elétrica atua com 3 subestações (SE1, SE2 e SE3), e cada uma delas precisa de uma quantidade mínima de energia elétrica mensal para abastecer a região correspondente. Essa energia pode ser fornecida por 2 usinas geradoras (Geradora A e Geradora B), sendo que cada geradora tem uma capacidade máxima mensal de geração. O custo de fornecimento de energia varia de acordo com a distância entre as geradoras e as subestações (transmissão e perdas associadas).
Por motivos técnicos e de confiabilidade no fornecimento:
- A SE1 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora A.
- A SE2 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora B.
- A SE3 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora A.
A tabela a seguir apresenta os custos de fornecimento (em R$/MWh) entre cada geradora e subestação, a capacidade máxima de geração das geradoras e as demandas mínimas de cada subestação:
Geradora/Subestação
Usina1
Usina2
Usina3
Capacidade Máxima (MWh/mês)
Geradora A
4
4,5
7,5
15.000
Geradora B
14
32
46
50.000
Demanda mínima (MWh/mês)
30.000
34.000
38.000
Elabore o modelo matemático que determine a quantidade de energia (em MWh) a ser fornecida de cada geradora para cada subestação, de modo a minimizar o custo total de fornecimento de energia elétrica.
| Geradora/Subestação | Usina1 | Usina2 | Usina3 | Capacidade Máxima (MWh/mês) |
| Geradora A | 4 | 4,5 | 7,5 | 15.000 |
| Geradora B | 14 | 32 | 46 | 50.000 |
| Demanda mínima (MWh/mês) | 30.000 | 34.000 | 38.000 |
Passo 1
O enunciado pede que se elabore um modelo matemático que determine a quantidade de energia (em MWh) enviada de cada geradora para cada subestação de modo a minimizar o custo total, respeitando capacidades, demandas mínimas e restrições percentuais técnicas.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Custos de fornecimento (R$/MWh):
- Geradora A para SE1:
- Geradora A para SE2:
- Geradora A para SE3:
- Geradora B para SE1:
- Geradora B para SE2:
- Geradora B para SE3:
- Geradora A para SE1:
- Capacidades máximas (MWh/mês):
- Geradora A:
- Geradora B:
- Geradora A:
- Demandas mínimas das subestações (MWh/mês):
- SE1:
- SE2:
- SE3:
- SE1:
- Restrições técnicas percentuais:
- SE1 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora A. - SE2 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora B. - SE3 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora A.
- SE1 deve receber no mínimo
O que é pedido: formular (escrever) o modelo de otimização (função objetivo + restrições + domínio das variáveis). A resolução não exige solução numérica, apenas o modelo matemático bem apresentado.
Passo 2
Definição das variáveis de decisão (explicando o que cada variável representa):
- Para cada par (geradora, subestação) introduzimos uma variável que representa a quantidade de energia enviada, em MWh/mês.
-
= energia enviada da Geradora A para a SE1 (MWh/mês). -
= energia enviada da Geradora A para a SE2 (MWh/mês). -
= energia enviada da Geradora A para a SE3 (MWh/mês). -
= energia enviada da Geradora B para a SE1 (MWh/mês). -
= energia enviada da Geradora B para a SE2 (MWh/mês). -
= energia enviada da Geradora B para a SE3 (MWh/mês).
-
Comentário didático curto: cada
é a quantidade (não negativa) que sai de uma geradora e vai para uma subestação. O objetivo será escolher esses
para minimizar custo total respeitando restrições.
Passo 3
Construção da função objetivo (minimização do custo total):
- O custo total é a soma, para todas as combinações, do custo por MWh multiplicado pela quantidade enviada.
- Usando os custos dados, a função objetivo é:
Explicação didática: cada termo como
significa “R$4 por cada MWh enviado de A para SE1” multiplicado pelo número de MWh enviados.
Passo 4
Restrições de demanda mínima das subestações:
- Cada subestação
precisa receber pelo menos sua demanda mínima, ou seja a soma das energias vindas de A e de B para essa subestação deve ser maior ou igual à demanda. - Para SE1 (demanda
):
- Para SE2 (demanda
):
- Para SE3 (demanda
):
Didática: estas restrições asseguram que cada subestação recebe ao menos a energia mínima necessária.
Passo 5
Restrições de capacidade máxima das geradoras:
- A soma do que cada geradora envia não pode ultrapassar sua capacidade máxima de geração.
- Para a Geradora A (capacidade
):
- Para a Geradora B (capacidade
):
Didática: estas são restrições de recurso — a geradora não pode fornecer mais do que sua capacidade.
Passo 6
Interpretação matemática das restrições percentuais técnicas (antes de linearizar):
- A frase “SE1 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora A” significa que, do total gerado por A (que é ), pelo menos deve ir para SE1. Em fórmula:
- De forma análoga, “SE2 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora B”:
- E “SE3 deve receber no mínimo
da energia vinda da Geradora A”:
Comentário: essas expressões têm um lado dependente do total gerado pela mesma usina; à primeira vista parecem não-lineares, mas é possível rearranjá-las para obter desigualdades lineares.
Passo 7
Transformar (linearizar) as restrições percentuais em inequações lineares:
- Para
: - Expande-se o lado direito:
. - Passa-se todos os termos para o mesmo lado:
- Simplificando
:
- Expande-se o lado direito:
- Para
: - Seguindo os mesmos passos:
(porque ). - Para
: - Rearranjando:
- Simplificando
:
Didática: essas manipulações são apenas álgebra elementar (distribuir, somar/subtrair termos) e mostram que as restrições percentuais são equivalentes a desigualdades lineares — por isso o modelo será um programa linear.
Passo 8
Restrição de sinal (domínio das variáveis):
- Todas as quantidades de energia são não negativas:
Explicação breve: faz sentido físico — não podemos enviar quantidade negativa de energia.
Passo 9
Comentário sobre o tipo de modelo e observação final didática:
- O modelo é um problema de Programação Linear (função objetivo linear, todas as restrições lineares), então métodos de PL (simplex, solucionadores comerciais ou livres) podem ser usados para resolver numericamente.
- Observação prática: o modelo formulado é o pedido pelo enunciado; se ao resolver numericamente surgir infeasibilidade (por exemplo porque somas de demandas > soma de capacidades), isso significa que, com os dados numéricos, não existe alocação que satisfaça todas as restrições simultaneamente — mas a tarefa pedida aqui foi formular o modelo, não necessariamente resolver.