( 6,5 pontos) Uma concessionária de energia elétrica atua com 3 subestações (SE1, SE2 e SE3), e cada uma delas precisa de uma quantidade mínima de energia elétrica mensal para abastecer a região correspondente. Essa energia pode ser fornecida por 2 usinas geradoras (Geradora A e Geradora B), sendo que cada geradora tem uma capacidade máxima mensal de geração. O custo de fornecimento de energia varia de acordo com a distância entre as geradoras e as subestações (transmissão e perdas associadas).
Por motivos técnicos e de confiabilidade no fornecimento:
  • A SE1 deve receber no mínimo 10 \% da energia vinda da Geradora A.
  • A SE2 deve receber no mínimo 15 \% da energia vinda da Geradora B.
  • A SE3 deve receber no mínimo 70 \% da energia vinda da Geradora A.
A tabela a seguir apresenta os custos de fornecimento (em R$/MWh) entre cada geradora e subestação, a capacidade máxima de geração das geradoras e as demandas mínimas de cada subestação:
Geradora/Subestação Usina1 Usina2 Usina3 Capacidade Máxima (MWh/mês)
Geradora A 4 4,5 7,5 15.000
Geradora B 14 32 46 50.000
Demanda mínima (MWh/mês) 30.000 34.000 38.000
Elabore o modelo matemático que determine a quantidade de energia (em MWh) a ser fornecida de cada geradora para cada subestação, de modo a minimizar o custo total de fornecimento de energia elétrica.

Passo 1

O enunciado pede que se elabore um modelo matemático que determine a quantidade de energia (em MWh) enviada de cada geradora para cada subestação de modo a minimizar o custo total, respeitando capacidades, demandas mínimas e restrições percentuais técnicas.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Custos de fornecimento (R$/MWh):
    • Geradora A para SE1: 4
    • Geradora A para SE2: 4{,}5
    • Geradora A para SE3: 7{,}5
    • Geradora B para SE1: 14
    • Geradora B para SE2: 32
    • Geradora B para SE3: 46
  • Capacidades máximas (MWh/mês):
    • Geradora A: 15.000
    • Geradora B: 50.000
  • Demandas mínimas das subestações (MWh/mês):
    • SE1: 30.000
    • SE2: 34.000
    • SE3: 38.000
  • Restrições técnicas percentuais:
    • SE1 deve receber no mínimo 10\% da energia vinda da Geradora A.
    • SE2 deve receber no mínimo 15\% da energia vinda da Geradora B.
    • SE3 deve receber no mínimo 70\% da energia vinda da Geradora A.
O que é pedido: formular (escrever) o modelo de otimização (função objetivo + restrições + domínio das variáveis). A resolução não exige solução numérica, apenas o modelo matemático bem apresentado.

Passo 2

Definição das variáveis de decisão (explicando o que cada variável representa):
  • Para cada par (geradora, subestação) introduzimos uma variável que representa a quantidade de energia enviada, em MWh/mês.
    • x_{A1} = energia enviada da Geradora A para a SE1 (MWh/mês).
    • x_{A2} = energia enviada da Geradora A para a SE2 (MWh/mês).
    • x_{A3} = energia enviada da Geradora A para a SE3 (MWh/mês).
    • x_{B1} = energia enviada da Geradora B para a SE1 (MWh/mês).
    • x_{B2} = energia enviada da Geradora B para a SE2 (MWh/mês).
    • x_{B3} = energia enviada da Geradora B para a SE3 (MWh/mês).
Comentário didático curto: cada x_{ij} é a quantidade (não negativa) que sai de uma geradora e vai para uma subestação. O objetivo será escolher esses x_{ij} para minimizar custo total respeitando restrições.

Passo 3

Construção da função objetivo (minimização do custo total):
  • O custo total é a soma, para todas as combinações, do custo por MWh multiplicado pela quantidade enviada.
  • Usando os custos dados, a função objetivo é:
\text{Minimizar } Z = 4\,x_{A1} + 4{,}5\,x_{A2} + 7{,}5\,x_{A3} + 14\,x_{B1} + 32\,x_{B2} + 46\,x_{B3}.
Explicação didática: cada termo como 4\,x_{A1} significa “R$4 por cada MWh enviado de A para SE1” multiplicado pelo número de MWh enviados.

Passo 4

Restrições de demanda mínima das subestações:
  • Cada subestação j precisa receber pelo menos sua demanda mínima, ou seja a soma das energias vindas de A e de B para essa subestação deve ser maior ou igual à demanda.
  • Para SE1 (demanda 30.000):
x_{A1} + x_{B1} \ge 30.000.
  • Para SE2 (demanda 34.000):
x_{A2} + x_{B2} \ge 34.000.
  • Para SE3 (demanda 38.000):
x_{A3} + x_{B3} \ge 38.000.
Didática: estas restrições asseguram que cada subestação recebe ao menos a energia mínima necessária.

Passo 5

Restrições de capacidade máxima das geradoras:
  • A soma do que cada geradora envia não pode ultrapassar sua capacidade máxima de geração.
  • Para a Geradora A (capacidade 15.000):
x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 15.000.
  • Para a Geradora B (capacidade 50.000):
x_{B1} + x_{B2} + x_{B3} \le 50.000.
Didática: estas são restrições de recurso — a geradora não pode fornecer mais do que sua capacidade.

Passo 6

Interpretação matemática das restrições percentuais técnicas (antes de linearizar):
  • A frase “SE1 deve receber no mínimo 10\% da energia vinda da Geradora A” significa que, do total gerado por A (que é x_{A1}+x_{A2}+x_{A3}), pelo menos 10\% deve ir para SE1. Em fórmula:
x_{A1} \ge 0{,}10\,(x_{A1} + x_{A2} + x_{A3}).
  • De forma análoga, “SE2 deve receber no mínimo 15\% da energia vinda da Geradora B”:
x_{B2} \ge 0{,}15\,(x_{B1} + x_{B2} + x_{B3}).
  • E “SE3 deve receber no mínimo 70\% da energia vinda da Geradora A”:
x_{A3} \ge 0{,}70\,(x_{A1} + x_{A2} + x_{A3}).
Comentário: essas expressões têm um lado dependente do total gerado pela mesma usina; à primeira vista parecem não-lineares, mas é possível rearranjá-las para obter desigualdades lineares.

Passo 7

Transformar (linearizar) as restrições percentuais em inequações lineares:
  • Para x_{A1} \ge 0{,}10(x_{A1}+x_{A2}+x_{A3}):
    • Expande-se o lado direito: x_{A1} \ge 0{,}10 x_{A1} + 0{,}10 x_{A2} + 0{,}10 x_{A3}.
    • Passa-se todos os termos para o mesmo lado:
    x_{A1} - 0{,}10 x_{A1} - 0{,}10 x_{A2} - 0{,}10 x_{A3} \ge 0.
    • Simplificando 1 - 0{,}10 = 0{,}90:
    0{,}90\,x_{A1} - 0{,}10\,x_{A2} - 0{,}10\,x_{A3} \ge 0.
  • Para x_{B2} \ge 0{,}15(x_{B1}+x_{B2}+x_{B3}):
    • Seguindo os mesmos passos:
    0{,}85\,x_{B2} - 0{,}15\,x_{B1} - 0{,}15\,x_{B3} \ge 0.(porque 1-0{,}15=0{,}85).
  • Para x_{A3} \ge 0{,}70(x_{A1}+x_{A2}+x_{A3}):
    • Rearranjando:
    x_{A3} - 0{,}70 x_{A1} - 0{,}70 x_{A2} - 0{,}70 x_{A3} \ge 0
    • Simplificando 1-0{,}70 = 0{,}30:
    0{,}30\,x_{A3} - 0{,}70\,x_{A1} - 0{,}70\,x_{A2} \ge 0.
Didática: essas manipulações são apenas álgebra elementar (distribuir, somar/subtrair termos) e mostram que as restrições percentuais são equivalentes a desigualdades lineares — por isso o modelo será um programa linear.

Passo 8

Restrição de sinal (domínio das variáveis):
  • Todas as quantidades de energia são não negativas:
x_{A1}, x_{A2}, x_{A3}, x_{B1}, x_{B2}, x_{B3} \ge 0.
Explicação breve: faz sentido físico — não podemos enviar quantidade negativa de energia.

Passo 9

Comentário sobre o tipo de modelo e observação final didática:
  • O modelo é um problema de Programação Linear (função objetivo linear, todas as restrições lineares), então métodos de PL (simplex, solucionadores comerciais ou livres) podem ser usados para resolver numericamente.
  • Observação prática: o modelo formulado é o pedido pelo enunciado; se ao resolver numericamente surgir infeasibilidade (por exemplo porque somas de demandas > soma de capacidades), isso significa que, com os dados numéricos, não existe alocação que satisfaça todas as restrições simultaneamente — mas a tarefa pedida aqui foi formular o modelo, não necessariamente resolver.

Resposta

\begin{aligned} \text{Variáveis:}&\quad x_{A1},x_{A2},x_{A3},x_{B1},x_{B2},x_{B3}\ge 0.\\[4pt] \text{Minimizar } Z &= 4\,x_{A1} + 4{,}5\,x_{A2} + 7{,}5\,x_{A3} + 14\,x_{B1} + 32\,x_{B2} + 46\,x_{B3} \\[4pt] \text{s.a. } & x_{A1} + x_{B1} \ge 30.000,\\[4pt] & x_{A2} + x_{B2} \ge 34.000,\\[4pt] & x_{A3} + x_{B3} \ge 38.000,\\[4pt] & x_{A1} + x_{A2} + x_{A3} \le 15.000,\\[4pt] & x_{B1} + x_{B2} + x_{B3} \le 50.000,\\[4pt] & 0{,}90\,x_{A1} - 0{,}10\,x_{A2} - 0{,}10\,x_{A3} \ge 0,\\[4pt] & 0{,}85\,x_{B2} - 0{,}15\,x_{B1} - 0{,}15\,x_{B3} \ge 0,\\[4pt] & 0{,}30\,x_{A3} - 0{,}70\,x_{A1} - 0{,}70\,x_{A2} \ge 0,\\[4pt] & x_{A1},x_{A2},x_{A3},x_{B1},x_{B2},x_{B3}\ge 0. \end{aligned}á]

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