(2 pontos) Considerando que uma reação tenha uma energia de ativação de 50 \mathrm{~kJ} ". \mathrm{~mol}^{-1}, calcule a variação de temperatura, a partir da temperatura ambiente ( 22^{\circ} \mathrm{C} ), necessária para que a constante de velocidade tenha valor duplicado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pergunta: calcular a variação de temperatura, a partir da temperatura ambiente 22^\circ\mathrm{C}, necessária para que a constante de velocidade seja duplicada (ou seja, k_2 = 2k_1).
  • Dados fornecidos:
    • Energia de ativação: E_a = 50\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
    • Temperatura inicial (ambiente): T_1 = 22^\circ\mathrm{C}.
  • Observações importantes que vou usar (sem ainda resolver):
    • será preciso converter temperaturas para kelvin antes de usar fórmulas.
    • a relação entre constantes de velocidade em diferentes temperaturas será obtida a partir da lei exponencial que envolve E_a (a seguir eu explico e uso essa lei).

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (o “porquê” e o que cada símbolo significa).
A expressão que relaciona a constante de velocidade k com a temperatura é a forma exponencial usual (modelo de Arrhenius):
k = A \, e^{-E_a/(R T)}.
Aqui:
  • k é a constante de velocidade da reação (depende da temperatura);
  • A é o fator pré-exponencial (assumimos que não muda entre as duas temperaturas consideradas);
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1});
  • R é a constante dos gases ideais, R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Se tivermos duas temperaturas T_1 e T_2 (com constantes k_1 e k_2), o quociente é
\frac{k_2}{k_1}=\exp\!\left(\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Big)\right).
Essa fórmula vem de dividir as duas expressões k_2=Ae^{-E_a/(RT_2)} e k_1=Ae^{-E_a/(RT_1)} e simplificar A.

Passo 3

Aplicando a condição de duplicar a constante ( k_2=2k_1) e isolando a relação entre T_1 e T_2.
Colocando \dfrac{k_2}{k_1}=2 na expressão anterior:
2=\exp\!\left(\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Big)\right).
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln 2=\frac{E_a}{R}\Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Big).
Isolando \dfrac{1}{T_2}:
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{E_a}\ln 2.
Finalmente:
T_2=\frac{1}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{R}{E_a}\ln 2}.

Passo 4

Converter unidades e preparar para calcular numericamente.
  • Converter E_a para \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}:
    E_a = 50\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = 50{,}000\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Converter temperatura inicial para kelvin:
    T_1 = 22^\circ\mathrm{C} = 22 + 273{,}15 = 295{,}15\\ \mathrm{K}.
    (Para evitar erro de arredondamento insignificante, usei 295{,}15\\ \mathrm{K}.)
  • Constante dos gases:
    R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
Calcular \dfrac{R}{E_a}\ln 2:
\frac{R}{E_a}\ln 2 = \frac{8{,}314}{50{,}000}\cdot\ln 2 \approx 0{,}00016628\cdot 0{,}693147 \approx 0{,}0001153\\ \mathrm{K}^{-1}.
Calcular \dfrac{1}{T_1}:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{295{,}15}\approx 0{,}0033889\\ \mathrm{K}^{-1}.
Subtrair:
\frac{1}{T_2}=\;0{,}0033889-0{,}0001153\;=\;0{,}0032736\\ \mathrm{K}^{-1}.
Invertendo para obter T_2:
T_2=\frac{1}{0{,}0032736}\approx 305{,}4\\ \mathrm{K}.
Converter T_2 para graus Celsius:
T_2(^\circ\mathrm{C})=305{,}4-273{,}15\approx 32{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a variação de temperatura pedida e interpretar o resultado.
A variação de temperatura (aumento) necessária é
\Delta T = T_2(^\circ\mathrm{C})-22^\circ\mathrm{C}\approx 32{,}3^\circ\mathrm{C}-22^\circ\mathrm{C}=10{,}3^\circ\mathrm{C}.
Interpretação curta e incentivo: ou seja, aumentar a reação de 22^\circ\mathrm{C} para cerca de 32{,}3^\circ\mathrm{C} duplica a constante de velocidade, de acordo com a dependência exponencial de Arrhenius. Dá pra fazer isso num forno ou banho térmico numa bancada — e olha que não precisava de um aumento enorme para dobrar a taxa! Você tá indo bem — respira e vamos pro próximo exercício.

Resposta

\Delta T \approx 10{,}3^\circ\mathrm{C}

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