(2 pontos) Qual é o tempo necessário para que a concentração de A decresça até
do valor inicial, segundo a reação
Produtos) com uma constante cinética de
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar o tempo necessário para que a concentração de
decresça até
do valor inicial, dado que a reação é
com constante cinética
.
Informações fornecidas:
- Constante cinética:
. - Quer-se o tempo
tal que a concentração atinja do valor inicial , isto é .
Observação importante (informação que não foi dada): o valor numérico de
não foi informado no enunciado. Vou deduzir a expressão geral de
em função de
; só então, se for necessário, posso aplicar um valor numérico de exemplo sem pedir nada adicional.
Passo 2
Qual é a ordem da reação? A unidade da constante cinética dá a pista:
é a unidade típica de uma reação de segunda ordem (quando a ordem global é 2, para concentrações em
e tempo em
). Por isso adotamos a lei de velocidade da segunda ordem unicomponente:
Explicação didática: a lei de velocidade relaciona a velocidade de decaimento da concentração
com
mesma. O sinal negativo indica que
diminui com o tempo. A constante
tem as unidades apropriadas para que a equação seja dimensionalmente consistente.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Começamos escrevendo:
Separamos as variáveis movendo os termos em
para a esquerda e
para a direita:
Explicando: separar variáveis significa colocar todos os
de um lado e
do outro para integrar.
Passo 4
Integrar ambos os lados com os limites apropriados: no tempo inicial
a concentração é
; no tempo
a concentração é
. Assim,
Calcule as integrais. A primitiva de
é
. Portanto,
Avalia:
o que simplifica para
Multiplicando por
e rearranjando:
Comentário didático: essa é a forma integrada clássica para reação de segunda ordem com uma única espécie reagente.
Passo 5
Agora impomos a condição pedida:
. Substituindo na lei integrada:
Calcule o lado esquerdo:
. Então
Subtraindo
dos dois lados:
Isolando
:
Verificação de unidades:
tem unidade
e
tem
, então
tem unidade
, e
fica em minutos — consistente.
Passo 6
Interpretação e uso prático: a expressão mostra que o tempo para cair a
do valor inicial depende de
. Como o enunciado NÃO forneceu
, não é possível dar um único número sem assumir um valor para
.
Exemplo numérico (ilustrativo): se
, então
Se
, então
Esses exemplos mostram a sensibilidade de
ao valor inicial
.
Resposta
Exemplo: para
,
.