(2 pontos) Qual é o tempo necessário para que a concentração de A decresça até 10,0 \% do valor inicial, segundo a reação \left(A \rightarrow\right. Produtos) com uma constante cinética de 0,10 \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~min}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o tempo necessário para que a concentração de A decresça até \,10{,}0\% do valor inicial, dado que a reação é \left(A\to\text{Produtos}\right) com constante cinética \,k=0,10\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}.
Informações fornecidas:
  • Constante cinética: \,k=0,10\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1}.
  • Quer-se o tempo t tal que a concentração [A](t) atinja \,10{,}0\% do valor inicial [A]_0, isto é [A](t)=0{,}10\,[A]_0.
Observação importante (informação que não foi dada): o valor numérico de [A]_0 não foi informado no enunciado. Vou deduzir a expressão geral de t em função de [A]_0; só então, se for necessário, posso aplicar um valor numérico de exemplo sem pedir nada adicional.

Passo 2

Qual é a ordem da reação? A unidade da constante cinética dá a pista: \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1} é a unidade típica de uma reação de segunda ordem (quando a ordem global é 2, para concentrações em \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1} e tempo em \mathrm{min}). Por isso adotamos a lei de velocidade da segunda ordem unicomponente:
-\dfrac{d[A]}{dt}=k\,[A]^2.
Explicação didática: a lei de velocidade relaciona a velocidade de decaimento da concentração [A] com [A] mesma. O sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo. A constante k tem as unidades apropriadas para que a equação seja dimensionalmente consistente.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Começamos escrevendo:
-\dfrac{d[A]}{dt}=k\,[A]^2.
Separamos as variáveis movendo os termos em [A] para a esquerda e dt para a direita:
\dfrac{d[A]}{[A]^2}=-k\,dt.
Explicando: separar variáveis significa colocar todos os [A] de um lado e t do outro para integrar.

Passo 4

Integrar ambos os lados com os limites apropriados: no tempo inicial t=0 a concentração é [A]_0; no tempo t a concentração é [A](t). Assim,
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \dfrac{d[A]}{[A]^2} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
Calcule as integrais. A primitiva de [A]^{-2} é -[A]^{-1}. Portanto,
\left[-\dfrac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A](t)} = -k\,[t]_0^{t}.
Avalia:
\left(-\dfrac{1}{[A](t)}\right)-\left(-\dfrac{1}{[A]_0}\right) = -k\,t,
o que simplifica para
-\dfrac{1}{[A](t)}+\dfrac{1}{[A]_0} = -k\,t.
Multiplicando por -1 e rearranjando:
\dfrac{1}{[A](t)} = \dfrac{1}{[A]_0} + k\,t.
Comentário didático: essa é a forma integrada clássica para reação de segunda ordem com uma única espécie reagente.

Passo 5

Agora impomos a condição pedida: [A](t)=0{,}10\,[A]_0. Substituindo na lei integrada:
\dfrac{1}{0{,}10\,[A]_0} = \dfrac{1}{[A]_0} + k\,t.
Calcule o lado esquerdo: \dfrac{1}{0{,}10\,[A]_0}=\dfrac{1}{0{,}10}\cdot\dfrac{1}{[A]_0}=10\cdot\dfrac{1}{[A]_0}. Então
10\cdot\dfrac{1}{[A]_0} = \dfrac{1}{[A]_0} + k\,t.
Subtraindo \dfrac{1}{[A]_0} dos dois lados:
9\cdot\dfrac{1}{[A]_0} = k\,t.
Isolando t:
t = \dfrac{9}{k\,[A]_0}.
Verificação de unidades: k tem unidade \mathrm{L}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{min}^{-1} e [A]_0 tem \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}, então k\,[A]_0 tem unidade \mathrm{min}^{-1}, e t fica em minutos — consistente.

Passo 6

Interpretação e uso prático: a expressão mostra que o tempo para cair a 10{,}0\% do valor inicial depende de [A]_0. Como o enunciado NÃO forneceu [A]_0, não é possível dar um único número sem assumir um valor para [A]_0.
Exemplo numérico (ilustrativo): se [A]_0=1{,}0\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}, então
t=\dfrac{9}{(0{,}10)\cdot(1{,}0)}=\dfrac{9}{0{,}10}=90\\ \text{min}.
Se [A]_0=0{,}100\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}, então
t=\dfrac{9}{(0{,}10)\cdot(0{,}100)}=\dfrac{9}{0{,}010}=900\\ \text{min}.
Esses exemplos mostram a sensibilidade de t ao valor inicial [A]_0.

Resposta

t=\dfrac{9}{k\,[A]_0}.
Exemplo: para [A]_0=1{,}0\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}, t=90\\ \text{min}.

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