1. (2,0 pontos) Considerando o sistema de equações abaixo, calcule o impacto de uma pequena variação em a ao redor do ponto (x, y, a)=(1,0,2) :
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+a x y+y^{2}-1=0 \\ x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} F(x,y,a)=x^{2}+a\,x\,y+y^{2}-1=0,\\\ G(x,y,a)=x^{2}+y^{2}-a^{2}+3=0, \end{cases}
e pede o “impacto” de uma variação pequena em a no ponto (x,y,a)=(1,0,2).
Isso significa calcular \dfrac{dx}{da} e \dfrac{dy}{da} usando diferenciação implícita.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F e G e avaliamos em (1,0,2).
Para F(x,y,a):
F_x=2x+a\,y,\quad F_y=a\,x+2y,\quad F_a=x\,y
F_x(1,0,2)=2\cdot1+2\cdot0=2,\quad F_y(1,0,2)=2\cdot1+2\cdot0=2,\quad F_a(1,0,2)=1\cdot0=0.
Para G(x,y,a):
G_x=2x,\quad G_y=2y,\quad G_a=-2a
G_x(1,0,2)=2\cdot1=2,\quad G_y(1,0,2)=2\cdot0=0,\quad G_a(1,0,2)=-2\cdot2=-4.

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a a\) e substituindo os parciais no ponto, obtemos \[F_x\frac{dx}{da}+F_y\frac{dy}{da}+F_a=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,\frac{dx}{da}+2\,\frac{dy}{da}+0=0,
G_x\frac{dx}{da}+G_y\frac{dy}{da}+G_a=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,\frac{dx}{da}+0\cdot\frac{dy}{da}-4=0.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\,\dfrac{dx}{da}+2\,\dfrac{dy}{da}=0,\\\\ 2\,\dfrac{dx}{da}=4. \end{cases}
Da segunda equação vem (\dfrac{dx}{da}=2]. Substituindo na primeira:
2\cdot2+2\,\frac{dy}{da}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4+2\,\frac{dy}{da}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{da}=-2.

Resposta

\displaystyle \frac{dx}{da}=2 e \displaystyle \frac{dy}{da}=-2.

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