1. (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{++}podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\begin{gathered} \max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+\ln x_{2} \\\ \text { sujeito a: } \\\ p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m . \end{gathered}
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor. Assuma solução interior: x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)>0 e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right)> 0.
(b) (0,5 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) ( 1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação como multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

Passo 1

O enunciado apresenta um consumidor com utilidade quasilinear
u(x_{1},x_{2})=x_{1}+\ln x_{2}
sujeito à restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\le m,
com m,p_{1},p_{2}>0.
Vamos usar o método de Lagrange para (a) obter as funções demanda x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},m) e x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},m), depois (b) calcular a utilidade indireta v(p_{1},p_{2},m) e por fim (c) a utilidade marginal da renda e relacioná-la com o multiplicador de Lagrange \lambda.

Passo 2

Formamos o Lagrangiano
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=x_{1}+\ln x_{2}+\lambda\bigl(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\bigr).
As condições de primeira ordem (assumindo solução interior) são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}: \;1-\lambda p_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{p_{1}},
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}: \;\frac{1}{x_{2}}-\lambda p_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{1}{\lambda p_{2}}.

Passo 3

Substituindo \lambda=1/p_{1} em x_{2}=1/(\lambda p_{2}) obtemos
x_{2}^{*}=\frac{1}{(1/p_{1})\,p_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Como a restrição se faz com igualdade,
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m \quad\Rightarrow\quad p_{1}x_{1}=m-p_{2}\frac{p_{1}}{p_{2}}=m-p_{1}
e daí
x_{1}^{*}=\frac{m-p_{1}}{p_{1}}=\frac{m}{p_{1}}-1.

Passo 4

A utilidade indireta v(p_{1},p_{2},m) é o valor de u nas demandas ótimas:
v(p_{1},p_{2},m) =x_{1}^{*}+\ln x_{2}^{*} =\Bigl(\frac{m}{p_{1}}-1\Bigr)+\ln\!\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr) =\frac{m}{p_{1}}-1+\ln p_{1}-\ln p_{2}.

Passo 5

A utilidade marginal da renda é
\frac{\partial v}{\partial m} =\frac{\partial}{\partial m}\Bigl(\frac{m}{p_{1}}-1+\ln p_{1}-\ln p_{2}\Bigr) =\frac{1}{p_{1}}.
Comparando com o multiplicador de Lagrange obtido em

Passo 6

\frac{\partial v}{\partial m}=\lambda.

Resposta

(a) \;x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},m)=\dfrac{m}{p_{1}}-1,\quad x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},m)=\dfrac{p_{1}}{p_{2}}.
(b) \;v(p_{1},p_{2},m)=\dfrac{m}{p_{1}}-1+\ln\!\bigl(\tfrac{p_{1}}{p_{2}}\bigr).
(c) \;\partial v/\partial m=1/p_{1}, que coincide com o multiplicador de Lagrange \lambda.

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