(1,5 ponto) Os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) formam uma base para \mathbb{R}^{3} ? Just ifique.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) em \mathbb{R}^3 e pergunta se eles formam uma base. Para responder, precisamos verificar se são linearmente independentes, o que em \mathbb{R}^3 equivale a checar se o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.
Passo 2
Vamos montar a matriz M cujas colunas são \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}:
Como \det(M)=-6\neq0, os vetores são linearmente independentes e, por terem três elementos em \mathbb{R}^3, também geram todo o espaço. Portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.
Resposta
Sim, pois \det(M)=-6\neq0, logo os vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.