1. (1,5 ponto) Os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) formam uma base para \mathbb{R}^{3} ? Just ifique.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1) em \mathbb{R}^3 e pergunta se eles formam uma base. Para responder, precisamos verificar se são linearmente independentes, o que em \mathbb{R}^3 equivale a checar se o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz M cujas colunas são \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3

Agora calculamos o determinante de M usando a regra de Sarrus ou cofactores:
\det(M) =1\cdot(3\cdot1 - 1\cdot1) -1\cdot(0\cdot1 - (-2)\cdot1) +(-1)\cdot(0\cdot1 - (-2)\cdot3).
Dentro dos parênteses temos 3\cdot1 - 1\cdot1=2, 0\cdot1 -(-2)\cdot1=2 e 0\cdot1 -(-2)\cdot3=6.
Logo,
\det(M)=1\cdot2 -1\cdot2 +(-1)\cdot6 =2 -2 -6 =-6.

Passo 4

Como \det(M)=-6\neq0, os vetores são linearmente independentes e, por terem três elementos em \mathbb{R}^3, também geram todo o espaço. Portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim, pois \det(M)=-6\neq0, logo os vetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.

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