1. ( 4,0 pontos ) Considere o modelo IS-LM:
  • Função Consumo: C=C\left(y_{d}, i\right), onde y_{d} é a renda disponível e i é a tax a de juros,
\frac{\partial C}{\partial y_{d}}>0, \frac{\partial C}{\partial i}<0 .
  • Renda Disponível: y_{d}=y(1-t+\theta), onde t é a carga tributária bruta e \theta é a taxa de transferências do governo, determinad as exogen amente.
  • Investimento: I=I(i, y),
\frac{\partial I}{\partial i}<0, \frac{\partial I}{\partial y}>0 .
  • Consumo do Governo: G, determinado exogenamente.
  • Demanda de Moeda: M^{d}=l(y, i),
\frac{\partial l}{\partial y}>0, \frac{\partial l}{\partial i}<0 .
  • Oferta de Moeda: M^{s}, determinada exogenamente.
Por simplicidade, suponha o nível geral de preços constante, P=1. O equilíbrio no mercado de bens e serviços em economia fechada prevê que y=C+I+G e o equilíbrio no mercado monetário exige que M^{d}=M^{s}. Avalie o impacto de uma variação exógena em \theta sobre as variáveis endógenas y e i. É necessário impor alguma restrição para determinar a direção do impacto dessa política? Explique.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo IS–LM com preço fixo P=1. A curva IS vem do equilíbrio no mercado de bens
y = C\bigl(y_d,i\bigr) \;+\; I(i,y)\;+\; G,
com y_d = y(1 - t + \theta). A curva LM vem do equilíbrio no mercado monetário
l(y,i) = M^s.
Queremos os sinais de \frac{\partial y}{\partial \theta} e \frac{\partial i}{\partial \theta} para um aumento exógeno em \theta, e saber se precisamos impor alguma restrição extra para determinar esses sinais.

Passo 2

Reescrevemos as duas condições de equilíbrio de forma implícita:
\mathcal{F}(y,i,\theta)\equiv y - C\bigl(y(1-t+\theta),i\bigr) - I(i,y) - G = 0,
\mathcal{G}(y,i)\equiv l(y,i) - M^s = 0.

Passo 3

Diferenciamos totalmente \mathcal{F}=0 em relação a \theta, tomando G e M^s constantes:
dy - \frac{\partial C}{\partial y_d}\bigl[y\,d\theta + (1-t+\theta)\,dy\bigr] - \frac{\partial C}{\partial i}\,di - \frac{\partial I}{\partial y}\,dy - \frac{\partial I}{\partial i}\,di = 0.
Diferenciamos também \mathcal{G}=0:
\frac{\partial l}{\partial y}\,dy \;+\;\frac{\partial l}{\partial i}\,di = 0.

Passo 4

Da segunda equação, isolamos di em termos de dy:
\frac{\partial l}{\partial y}\,dy + \frac{\partial l}{\partial i}\,di = 0 \quad\Longrightarrow\quad di = -\frac{l_y}{l_i}\;dy,
onde l_y=\frac{\partial l}{\partial y}>0 e l_i=\frac{\partial l}{\partial i}<0. Logo -\tfrac{l_y}{l_i}>0.

Passo 5

Voltamos à equação da IS e agrupamos os termos em dy e d\theta. Defina
a \equiv C_{y_d}>0,\quad b\equiv -C_i>0,\quad c\equiv I_y>0,\quad d\equiv -I_i>0.
Então a diferenciação da IS fica
dy - a\,y\,d\theta - a(1-t+\theta)\,dy + b\,di - c\,dy + d\,di = 0.
Substituindo di=-(l_y/l_i)\,dy e reagru pando coeficientes de dy:
\Bigl[1 - a(1-t+\theta) - c - (b+d)\frac{l_y}{-\,l_i}\Bigr]\,dy = a\,y\,d\theta.
O termo entre colchetes é positivo graças às condições usuais de estabilidade (curva LM mais inclinada que IS). Assim
\frac{dy}{d\theta} = \frac{a\,y}{\,1 - a(1-t+\theta) - c - (b+d)\frac{l_y}{-\,l_i}\,} >0.

Passo 6

Para achar \frac{di}{d\theta}, usamos di=-(l_y/l_i)\,dy. Como -l_y/l_i>0 e \frac{dy}{d\theta}>0, temos
\frac{di}{d\theta} = -\frac{l_y}{l_i}\,\frac{dy}{d\theta} >0.

Passo 7

A única “restrição” necessária para obter esses sinais é a condição padrão de estabilidade de equilíbrio IS–LM, ou seja, de que o coeficiente
1 - a(1-t+\theta) - c - (b+d)\frac{l_y}{-\,l_i}
seja positivo (o que equivale a exigir que a curva LM seja mais inclinada que a IS). Não é preciso impor nenhuma outra restrição de forma específica para saber que \partial y/\partial\theta>0 e \partial i/\partial\theta>0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta}>0 e \displaystyle \frac{\partial i}{\partial \theta}>0. Não é necessária nenhuma restrição adicional além da condição usual de estabilidade (LM mais inclinada que IS).

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