(2,0 pontos) Os vetores v_{1}=(1,3,2), v_{2}=(4,5,7) e v_{3}=(0,2,0) formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Explique.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \displaystyle v_{1}=(1,3,2), \displaystyle v_{2}=(4,5,7) e \displaystyle v_{3}=(0,2,0),
e pergunta se eles formam uma base de \mathbb{R}^3.
Conteúdo: base em \mathbb{R}^3, que equivale a checar se são linearmente independentes (ou, equivalentemente, se geram todo o espaço). Uma forma rápida é montar a matriz com esses vetores e verificar se o determinante é não nulo.
Passo 2
Vamos colocar v_1,v_2,v_3 como colunas de uma matriz A:
Como \det(A)=2\neq0, os vetores são linearmente independentes. Três vetores independentes em \mathbb{R}^3 geram o espaço todo, portanto formam uma base de \mathbb{R}^3.
Resposta
Sim. Eles formam uma base de \mathbb{R}^3 porque o determinante da matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} é 2\neq0, garantindo independência linear e geração de todo o espaço.