1. (2,0 pontos) Os vetores v_{1}=(1,3,2), v_{2}=(4,5,7) e v_{3}=(0,2,0) formam uma base do \mathbb{R}^{3} ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \displaystyle v_{1}=(1,3,2), \displaystyle v_{2}=(4,5,7) e \displaystyle v_{3}=(0,2,0),
e pergunta se eles formam uma base de \mathbb{R}^3.
Conteúdo: base em \mathbb{R}^3, que equivale a checar se são linearmente independentes (ou, equivalentemente, se geram todo o espaço). Uma forma rápida é montar a matriz com esses vetores e verificar se o determinante é não nulo.

Passo 2

Vamos colocar v_1,v_2,v_3 como colunas de uma matriz A:
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\\\ 3 & 5 & 2\\\\ 2 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq0, então as colunas são linearmente independentes e, por terem dimensão 3, formam base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Calculemos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 2\\\\ 7 & 0\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\\ 2 & 0\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora
\det\begin{pmatrix}5 & 2\\\\ 7 & 0\end{pmatrix} =5\cdot0 - 2\cdot7 = -14, \qquad \det\begin{pmatrix}3 & 2\\\\ 2 & 0\end{pmatrix} =3\cdot0 - 2\cdot2 = -4,
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\det(A) = 1\cdot(-14) - 4\cdot(-4) = -14 + 16 = 2.

Passo 4

Como \det(A)=2\neq0, os vetores são linearmente independentes. Três vetores independentes em \mathbb{R}^3 geram o espaço todo, portanto formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Sim. Eles formam uma base de \mathbb{R}^3 porque o determinante da matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} é 2\neq0, garantindo independência linear e geração de todo o espaço.

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