(3 pontos) Considere a tabela a seguir:
x 0 0.6 1 1.4
f(x) 0.16 0.2 0.25 0.3
a) ( 2 pontos) Estime o valor de f(1.2) usando um polinômio interpolador de grau 2 pela forma de Newton.
b) (1 ponto) Estime o erro cometido.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores de f em quatro pontos e pede duas coisas:
  • (a) Estimar f(1,2) usando um polinômio interpolador de grau 2 pela forma de Newton.
  • (b) Estimar o erro cometido nessa aproximação.
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado):
\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 0,6 & 1 & 1,4\\hline f(x) & 0,16 & 0,2 & 0,25 & 0,3 \end{array}

Passo 2

Escolha dos nós para interpolar em x=1,2. É uma boa prática usar os três pontos mais próximos de 1,2, pois isso tende a reduzir o erro. Os três pontos mais próximos são x_0=0,6, x_1=1 e x_2=1,4 com
f(x_0)=0,2,\quad f(x_1)=0,25,\quad f(x_2)=0,3.
Vou construir o polinômio de Newton de grau 2 usando esses nós.

Passo 3

Lembrete rápido sobre diferenças divididas (a ideia por trás da forma de Newton):
  • A primeira diferença dividida entre x_i e x_j é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}.
  • A segunda diferença dividida para três nós x_i,x_j,x_k é
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
O polinômio de Newton de grau 2 com nós x_0,x_1,x_2 é
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).

Passo 4

Calcular as diferenças divididas para os nós escolhidos.
Primeiras diferenças divididas:
f[x_0,x_1]=\frac{0,25-0,2}{1-0,6}=\frac{0,05}{0,4}=0,125,
f[x_1,x_2]=\frac{0,3-0,25}{1,4-1}=\frac{0,05}{0,4}=0,125.
Segunda diferença dividida:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{1,4-0,6}=\frac{0,125-0,125}{0,8}=0.
Observação importante (didática): o fato de a segunda diferença dividida ser zero significa que os três pontos são colineares (estão numa mesma reta), então o termo quadrático do polinômio desaparece e o interpolador de grau 2 coincide com uma reta (polinômio de grau 1) passando por esses pontos.

Passo 5

Escrever o polinômio de Newton e avaliá-lo em x=1,2.
Como f[x_0,x_1,x_2]=0, temos
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)=0,2+0,125(x-0,6).
Avaliar em x=1,2:
x-0,6=1,2-0,6=0,6,
P_2(1,2)=0,2+0,125\cdot0,6=0,2+0,075=0,275.
Portanto a estimativa é f(1,2)\approx0,275.

Passo 6

Agora vamos estimar o erro cometido. Fórmula teórica do resto para interpolação de grau 2: se f tem derivadas até a terceira ordem, existe \xi entre os nós tal que
R_2(x)=f(x)-P_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Aqui não temos informação direta sobre f^{(3)}, mas podemos estimá-lo aproximando \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!} por uma diferença dividida de terceira ordem obtida a partir dos quatro pontos disponíveis x=0,0,6,1,1,4. Essa terceira diferença dividida é, por definição, igual a \dfrac{f^{(3)}(\eta)}{3!} para algum \eta no intervalo — serve como uma estimativa razoável.
Calcular a terceira diferença dividida usando os quatro nós 0,\;0,6,\;1,\;1,4.
Primeiras diferenças (já calculadas algumas):
f[0,0,6]=\frac{0,2-0,16}{0,6}=\frac{0,04}{0,6}=0,066\overline{6},
f[0,6,1]=\frac{0,25-0,2}{0,4}=0,125,
f[1,1,4]=0,125.
Segundas diferenças:
f[0,0,6,1]=\frac{0,125-0,066\overline{6}}{1-0}=0,058\overline{3}=\frac{7}{120}\approx0,05833\ldots,
f[0,6,1,1,4]=\frac{0,125-0,125}{1,4-0,6}=0.
Terceira diferença dividida (usando x_0=0 e x_3=1,4):
f[0,0,6,1,1,4]=\frac{0-0,058\overline{3}}{1,4-0}=-\frac{0,058\overline{3}}{1,4}=-\frac{1}{24}\approx-0,041666\ldots
Logo uma estimativa para \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!} é -\dfrac{1}{24}.

Passo 7

Usar essa estimativa no resto em x=1,2. Para os nós usados x_0=0,6,\;x_1=1,\;x_2=1,4:
(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\Big|_{x=1,2}=(1,2-0,6)(1,2-1)(1,2-1,4)=0,6\cdot0,2\cdot(-0,2)=-0,024.
Assim
R_2(1,2)\approx\left(-\frac{1}{24}\right)\cdot(-0,024)=+\;0,001.
Interpretação: o erro estimado é cerca de 0,001. (Esse cálculo usa a diferença dividida de terceira ordem como estimativa para \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!}.)

Resposta

(a) f(1,2)\approx0,275
(b) erro estimado \approx0,001

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