Escolha dos nós para interpolar em x=1,2. É uma boa prática usar os três pontos mais próximos de 1,2, pois isso tende a reduzir o erro. Os três pontos mais próximos são x_0=0,6, x_1=1 e x_2=1,4 com
f(x_0)=0,2,\quad f(x_1)=0,25,\quad f(x_2)=0,3.
Vou construir o polinômio de Newton de grau 2 usando esses nós.
Passo 3
Lembrete rápido sobre diferenças divididas (a ideia por trás da forma de Newton):
A primeira diferença dividida entre x_i e x_j é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}.
A segunda diferença dividida para três nós x_i,x_j,x_k é
Observação importante (didática): o fato de a segunda diferença dividida ser zero significa que os três pontos são colineares (estão numa mesma reta), então o termo quadrático do polinômio desaparece e o interpolador de grau 2 coincide com uma reta (polinômio de grau 1) passando por esses pontos.
Passo 5
Escrever o polinômio de Newton e avaliá-lo em x=1,2.
Como f[x_0,x_1,x_2]=0, temos
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)=0,2+0,125(x-0,6).
Avaliar em x=1,2:
x-0,6=1,2-0,6=0,6,
P_2(1,2)=0,2+0,125\cdot0,6=0,2+0,075=0,275.
Portanto a estimativa é f(1,2)\approx0,275.
Passo 6
Agora vamos estimar o erro cometido. Fórmula teórica do resto para interpolação de grau 2: se f tem derivadas até a terceira ordem, existe \xi entre os nós tal que
Aqui não temos informação direta sobre f^{(3)}, mas podemos estimá-lo aproximando \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!} por uma diferença dividida de terceira ordem obtida a partir dos quatro pontos disponíveis x=0,0,6,1,1,4. Essa terceira diferença dividida é, por definição, igual a \dfrac{f^{(3)}(\eta)}{3!} para algum \eta no intervalo — serve como uma estimativa razoável.
Calcular a terceira diferença dividida usando os quatro nós 0,\;0,6,\;1,\;1,4.
Interpretação: o erro estimado é cerca de 0,001. (Esse cálculo usa a diferença dividida de terceira ordem como estimativa para \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!}.)