Questão.(20 pontos)
Verifique se o Teorema de Green é verdadeiro para o campo vetorial
e
é o triângulo com vértices
e
, orientado positivamente.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e a curva e pede para verificar se o enunciado pedido é verdadeiro. Informações fornecidas:
- Campo vetorial:
. Ou seja, e . -
é o triângulo com vértices , orientado positivamente (sentido anti-horário). - A pergunta é: verificar se o Teorema pedido (igualdade entre integral de linha fechada e integral dupla sobre a região interna) vale para este
e esta curva . Em termos práticos: calcular o lado direito
e o lado esquerdo
,
ondeé a região triangular delimitada por , e comparar os resultados.
Passo 2
Vou explicar a fórmula que vamos usar (a ideia central que precisamos aplicar) e por que ela pode ser usada aqui.
A fórmula que relaciona a integral de linha de um campo plano ao integral dupla sobre a região interior é
Explicando cada símbolo:
-
e são as componentes do campo . -
é a curva fechada e orientada positivamente (anti-horário). -
é a região plana limitada por . -
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo) e é a derivada parcial de em relação a .
Condição de aplicação: see têm derivadas parciais contínuas em um aberto contendo , a igualdade acima vale. Aqui e são polinômios, logo têm derivadas contínuas em todo , então podemos aplicar a fórmula. Plano de ataque: calcular primeiro a integral dupla (lado direito) porque é simples, depois calcular a integral de linha (lado esquerdo) paramétrizando cada aresta do triângulo, e comparar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem na integranda da integral dupla:
Derivadas parciais:
Portanto a integranda é
Passo 4
Descrever a região
(pegar os vértices do enunciado) e montar a integral dupla. Os vértices são
. As arestas ligam:
-
a : reta . -
a : reta . -
a : reta vertical .
A região triangularestá entre as retas e para variando de a . Logo é conveniente integrar em ordem :
Calcular a integral interna:
Agora a integral em
:
Portanto
Passo 5
Agora calculo a integral de linha
. Como
é orientada positivamente (anti-horário), escolho a ordem de percurso das arestas correspondente: começar em
para
, depois para
, e por fim retorno a
. Vou paramétrizar cada aresta e calcular a contribuição de cada uma.
Segmento 1: de
a
. Parâmetro
:
Em termos de
:
Então
Passo 6
Segmento 2: de
a
(aresta vertical). Parâmetro
:
Em termos de
:
Como
, só contribui
:
Passo 7
Segmento 3: de
de volta para
ao longo da reta
. É importante respeitar a direção (do ponto
para
). Parametrizo por
igual à coordenada
, com
indo de
até
:
(Parametrização com
decrescente reflete a direção correta do segmento.)
Em termos de :
Em termos de
Assim o integrando é
Integrando com
de
a
:
Passo 8
Somando as três contribuições dos segmentos:
Comparando com o valor da integral dupla (Passo 4), que também deu
, concluímos que os dois lados são iguais.
Resposta
Sim.