(3,0 Pontos) Um corpo de prova cúbico feito de titânio e com comprimento do lado original 9,2 \mathrm{~cm} é testado sob tração até sua fratura, tendo sido determinado que ele possui uma resistência a fratura, expressa em tensão de engenharia de 386 Mpa . Se o comprimento do lado no momento da fratura é de 7,4 \mathrm{~cm}, determine:
a) A ductibilidade em termos da redução porcentual na área
b) A resiliência
c) A tensão verdadeira na fratura

Passo 1

O enunciado descreve um corpo de prova cúbico de titânio com lado inicial L_{0}=9{,}2\;\mathrm{cm}. Sob tração até a fratura constatou-se tensão de engenharia \sigma_{\rm eng}=386\;\mathrm{MPa} e, no ponto de fratura, a aresta da seção transversal mede L_{\perp}=7{,}4\;\mathrm{cm}.
Conteúdo: mecânica dos materiais – redução de área (ductilidade), energia de deformação até a fratura (resiliência aproximada) e tensão verdadeira ao nível de fratura.
Vamos precisar de:
1. Fórmula da redução percentual de área.
2. Conservação de volume para estimar a deformação longitudinal até a fratura e obter \varepsilon_{\rm eng}.
3. Resiliência aproximada como área triangular sob a curva tensão-deformação: U = \tfrac12\,\sigma_{\rm eng}\,\varepsilon_{\rm eng}.
4. Tensão verdadeira: \sigma_{\rm true}=\sigma_{\rm eng}(1+\varepsilon_{\rm eng}).

Passo 2

Calculemos inicialmente as áreas inicial e final da seção transversal:
A_{0}=L_{0}^{2}, \qquad A_{\perp}=L_{\perp}^{2}.
A redução percentual de área (ductilidade) é
\frac{A_{0}-A_{\perp}}{A_{0}}\times100\%.

Passo 3

Numericamente,
A_{0}=(9{,}2\;\mathrm{cm})^{2}=84{,}64\;\mathrm{cm}^{2}, \quad A_{\perp}=(7{,}4\;\mathrm{cm})^{2}=54{,}76\;\mathrm{cm}^{2}.
Logo a redução percentual é
\frac{84{,}64-54{,}76}{84{,}64}\times100\% =\frac{29{,}88}{84{,}64}\times100\%\approx35{,}3\%.

Passo 4

Para achar a deformação longitudinal \varepsilon_{\rm eng} até a fratura usamos conservação de volume (pressuposto de material dúctil):
A_{0}L_{0}=A_{\perp}L_{f} \quad\Longrightarrow\quad L_{f}=L_{0}\,\frac{A_{0}}{A_{\perp}}.
Assim
L_{f}=9{,}2\;\mathrm{cm}\times\frac{84{,}64}{54{,}76}\approx14{,}22\;\mathrm{cm},
e a deformação de engenharia é
\varepsilon_{\rm eng} =\frac{L_{f}-L_{0}}{L_{0}} =\frac{14{,}22-9{,}2}{9{,}2}\approx0{,}5456\quad(54{,}56\%).

Passo 5

A resiliência aproximada (energia por unidade de volume até fratura, supondo curva linear) é a área de um triângulo tensão–deformação:
U =\tfrac12\,\sigma_{\rm eng}\,\varepsilon_{\rm eng} =\tfrac12\times386\times10^{6}\,\mathrm{Pa}\times0{,}5456 \approx1{,}05\times10^{8}\;\mathrm{J/m^{3}}.

Passo 6

A tensão verdadeira na fratura é dada por
\sigma_{\rm true} =\sigma_{\rm eng}\,(1+\varepsilon_{\rm eng}) =386\times10^{6}\,\mathrm{Pa}\times(1+0{,}5456) \approx5{,}97\times10^{8}\;\mathrm{Pa} =597\;\mathrm{MPa}.

Resposta

a) Redução percentual de área \approx 35,3 %
b) Resiliência aproximada \approx 1{,}05\times10^{8}\;\mathrm{J/m^{3}}
c) Tensão verdadeira na fratura \approx 597 MPa

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