(9 pontos) Se
então calcule a integral de linha
, onde
é formado pelos lados do triângulo de vértices
, orientado no sentido de
para
, depois para
, depois para
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
com
e
é o contorno orientado positivamente (anti-horário) do triângulo de vértices
,
,
.
Conteúdo chave: Teorema de Green para transformar integral de linha fechada em integral dupla.
Conteúdo chave: Teorema de Green para transformar integral de linha fechada em integral dupla.
Passo 2
Vamos verificar se
é ou não campo conservativo, calculando
Primeiro,
Em seguida,
Como
(difere por
), o campo não é conservativo e podemos usar o Teorema de Green.
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
onde
é o triângulo com vértices
. O integrando é
Passo 4
Precisamos então calcular
Escolhemos coordenadas cartesianas com
e
. Assim
Expandindo e integrando: