(9 pontos) Se F(x, y)=y cos x-x y sin x+ln (1+x^3), x y+x cos x+arctan (e^y^2) então calcule a integral de linha fC F cdot d r, onde C é formado pelos lados do triângulo de vértices A=(0,0), B=(2.0), C=(0,2), orientado no sentido de A para B, depois para C, depois para A.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCFcdot dr
onde
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y)=ycos x - x ysin x + lnl(1+x^3r), Q(x,y)=x y + xcos x + arctanl(e^y^2r),
e C é o contorno orientado positivamente (anti-horário) do triângulo de vértices A=(0,0), B=(2,0), C=(0,2).
Conteúdo chave: Teorema de Green para transformar integral de linha fechada em integral dupla.

Passo 2

Vamos verificar se F é ou não campo conservativo, calculando
partial Ppartial y e partial Qpartial x
Primeiro,
partial Ppartial y =partialpartial yl(ycos x - x ysin x + ln(1+x^3)r) =cos x - xsin x
Em seguida,
partial Qpartial x =partialpartial xl(x y + xcos x + arctan(e^y^2)r) =y + cos x - xsin x
Como
partial Q/partial x neq partial P/partial y (difere por y), o campo não é conservativo e podemos usar o Teorema de Green.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointCFcdot dr =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2). O integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(y + cos x - xsin x)-(cos x - xsin x) =y

Passo 4

Precisamos então calcular
integral duplaDy,dA
Escolhemos coordenadas cartesianas com 0<= x<=2 e 0<= y<= 2-x. Assim
integral duplaDy,dA =integralx=0^2!integraly=0^2-xy,dy,dx =integral0^2l[tfracy^22r]0^2-xdx =integral0^2(2-x)^22,dx
Expandindo e integrando:
integral0^2(2-x)^22,dx =12integral0^2(x^2-4x+4),dx =12l[tfracx^33-2x^2+4xr]0^2 =12l(tfrac83-8+8r) =12cdot83 =43

Resposta

ointCFcdot dr=43

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