Em que pontos a curva \alpha(t)=\left(t, 0,2 t-t^{2}\right) intersect a o paraboloide z=x^{2}+y^{2} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada \alpha(t)=\left(t,0,2t-t^{2}\right) e o paraboloide definido pela equação z=x^{2}+y^{2}. A pergunta é: em que pontos a curva \alpha intersecta o paraboloide?
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva tem coordenadas x(t)=t, y(t)=0, z(t)=2t-t^{2}.
  • O paraboloide exige que, para um ponto (x,y,z) pertencer a ele, valha z=x^{2}+y^{2}.
  • Precisamos encontrar os valores de t tais que o ponto \alpha(t) satisfaça a equação do paraboloide, e então dar as coordenadas desses pontos.

Passo 2

Estratégia (descrita sem resolver ainda): para achar interseção entre uma curva parametrizada \alpha(t) e uma superfície dada por uma equação, substitui-se as componentes da curva na equação da superfície e resolve-se para t. Depois, calcula-se \alpha(t) para esses t. Agora aplicamos isso ao caso concreto.

Passo 3

Substituir x(t) e y(t) na equação do paraboloide. Como x(t)=t e y(t)=0, tem-se
x^{2}+y^{2}=t^{2}+0=t^{2}.
Para que \alpha(t) esteja no paraboloide devemos ter o z da curva igual a esse valor, isto é,
2t-t^{2}=t^{2}.

Passo 4

Resolver a equação em t. Colocando todos os termos em um lado:
2t-t^{2}-t^{2}=0.
Simplificando,
2t-2t^{2}=0.
Fatorando o lado esquerdo:
2t(1-t)=0.
As soluções são os valores de t que anulam os fatores:
t=0 \quad\text{ou}\quad t=1.

Passo 5

Calcular os pontos da curva correspondentes a cada valor de t.
Para t=0:
\alpha(0)=\bigl(0,0,2\cdot 0-0^{2}\bigr)=(0,0,0).
Para t=1:
\alpha(1)=\bigl(1,0,2\cdot 1-1^{2}\bigr)=(1,0,1).

Passo 6

Verificação rápida (checar que os pontos realmente pertencem ao paraboloide):
  • Para (0,0,0): no paraboloide z=x^{2}+y^{2} temos 0=0^{2}+0^{2}=0. OK.
  • Para (1,0,1): no paraboloide z=1^{2}+0^{2}=1, que coincide com o z do ponto. OK.

Passo 7

Resumo didático e receita rápida que podes usar na prova: dado \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) e uma superfície F(x,y,z)=0, substitui x(t),y(t),z(t) em F e resolve F(x(t),y(t),z(t))=0 para t. Cada solução de t dá um ponto \alpha(t) de interseção. Aqui isso virou uma equação polinomial simples que se resolveu por fatoração.

Resposta

(0,0,0)
(1,0,1)

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