Em que pontos a curva
intersect a o paraboloide
?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
e o paraboloide definido pela equação
. A pergunta é: em que pontos a curva
intersecta o paraboloide?
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A curva tem coordenadas
, , . - O paraboloide exige que, para um ponto
pertencer a ele, valha . - Precisamos encontrar os valores de
tais que o ponto satisfaça a equação do paraboloide, e então dar as coordenadas desses pontos.
Passo 2
Estratégia (descrita sem resolver ainda): para achar interseção entre uma curva parametrizada
e uma superfície dada por uma equação, substitui-se as componentes da curva na equação da superfície e resolve-se para
. Depois, calcula-se
para esses
. Agora aplicamos isso ao caso concreto.
Passo 3
Substituir
e
na equação do paraboloide. Como
e
, tem-se
Para que
esteja no paraboloide devemos ter o
da curva igual a esse valor, isto é,
Passo 4
Resolver a equação em
. Colocando todos os termos em um lado:
Simplificando,
Fatorando o lado esquerdo:
As soluções são os valores de
que anulam os fatores:
Passo 5
Calcular os pontos da curva correspondentes a cada valor de
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Verificação rápida (checar que os pontos realmente pertencem ao paraboloide):
- Para
: no paraboloide temos . OK. - Para
: no paraboloide , que coincide com o do ponto. OK.
Passo 7
Resumo didático e receita rápida que podes usar na prova: dado
e uma superfície
, substitui
em
e resolve
para
. Cada solução de
dá um ponto
de interseção. Aqui isso virou uma equação polinomial simples que se resolveu por fatoração.