( 2,0 pontos) Deseja-se contruir uma caixa na forma de um paralelepípedo retorretângulo, sem tampa, cujo comprimento mede o dobro da largura e de volume 128 litros. O material para a base da caixa custa
3,00
\mathrm{R} $2,00$. Determine as dimensões da caixa, em cm, para que o custo de sua confecção seja o menor possível. Quanto custa uma caixa dessa? Justifique todos os seus cálculos.
Passo 1
O enunciado (dados e pedido):
- Deseja-se construir uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo sem tampa.
- O comprimento mede o dobro da largura.
- O volume deve ser
litros. - Custo do material para a base:
por decímetro quadrado. - Custo do material para as laterais:
por decímetro quadrado.
O que se pede: - Determinar as dimensões da caixa, em centímetros, que minimizam o custo de fabricação.
- Calcular o custo dessa caixa mínima.
Observações sobre unidades que serão usadas: -
litro decímetro cúbico . Vou trabalhar em decímetros (dm) para áreas e volume e, no final, converter para centímetros (1 dm = 10 cm).
Passo 2
Escolha de variáveis e equação do volume.
- Seja
a largura da caixa em decímetros ( ). - Então o comprimento é
(pois é o dobro da largura). - Seja
a altura em decímetros.
O volume de um paralelepípedo é. Assim, a condição do volume é
Vou usar essa equação para eliminar
e obter uma função do custo apenas em função de
.
Passo 3
Isolar
a partir da condição de volume.
Portanto
em
é
. Observe que
.
Passo 4
Áreas das faces e custo por face (tudo em
e
).
- Área da base (única, sem tampa):
( ). - Áreas das quatro laterais:
- Duas faces com dimensões comprimento
altura: cada uma tem área , então as duas juntas têm . - Duas faces com dimensões largura
altura: cada uma tem área , então as duas juntas têm . - Total das laterais:
.
Custos por área:
- Duas faces com dimensões comprimento
- Custo da base:
por . - Custo das laterais:
por .
Passo 5
Montar a função custo total
em função de
.
- Custo da base:
(reais). - Custo das laterais:
(reais).
Logo a função custo é
Agora substituir
obtido no Passo 3.
Passo 6
Substituição de
e simplificação.
Calcular o segundo termo:
Portanto a função custo fica
Essa é a função que vamos minimizar.
Passo 7
Derivada de
e condição de extremo.
Calcule a derivada primeira:
Calcule a derivada primeira:
Para pontos críticos, resolver
:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) para eliminar potências negativas:
A solução real positiva é
Passo 8
Verificar que é mínimo usando a segunda derivada.
Calcule a derivada segunda:
Calcule a derivada segunda:
Para
,
Como
, a função tem um mínimo local em
. Como
quando
ou
, esse mínimo é o mínimo global.
Passo 9
Determinar as dimensões (em
e converter para cm).
- Largura:
. - Comprimento:
. - Altura:
.
Converter para centímetros (): - Largura:
. - Comprimento:
. - Altura:
.
Passo 10
Cálculo do custo mínimo.
Usar com
:
Usar
Unidade: reais. Posso checar por componentes:
- Área da base:
. Custo da base: . - Área total das laterais:
. Custo das laterais: . - Soma:
. Confere com .