( 2,0 pontos) Deseja-se contruir uma caixa na forma de um paralelepípedo retorretângulo, sem tampa, cujo comprimento mede o dobro da largura e de volume 128 litros. O material para a base da caixa custa \mathrm{R} \ 3,00 o decímetro quadrado e para as laterais o decímetro quadrado custaíí\mathrm{R} $2,00$. Determine as dimensões da caixa, em cm, para que o custo de sua confecção seja o menor possível. Quanto custa uma caixa dessa? Justifique todos os seus cálculos.

Passo 1

O enunciado (dados e pedido):
  • Deseja-se construir uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo sem tampa.
  • O comprimento mede o dobro da largura.
  • O volume deve ser 128 litros.
  • Custo do material para a base: \mathrm{R}\$\,3{,}00 por decímetro quadrado.
  • Custo do material para as laterais: \mathrm{R}\$\,2{,}00 por decímetro quadrado.
    O que se pede:
  • Determinar as dimensões da caixa, em centímetros, que minimizam o custo de fabricação.
  • Calcular o custo dessa caixa mínima.
    Observações sobre unidades que serão usadas:
  • 1 litro =1 decímetro cúbico =1\\ \mathrm{dm}^3. Vou trabalhar em decímetros (dm) para áreas e volume e, no final, converter para centímetros (1 dm = 10 cm).

Passo 2

Escolha de variáveis e equação do volume.
  • Seja x a largura da caixa em decímetros ( \mathrm{dm}).
  • Então o comprimento é 2x (pois é o dobro da largura).
  • Seja h a altura em decímetros.
    O volume de um paralelepípedo é \text{comprimento}\times\text{largura}\times\text{altura}. Assim, a condição do volume é
2x\cdot x\cdot h = 128.
Vou usar essa equação para eliminar h e obter uma função do custo apenas em função de x.

Passo 3

Isolar h a partir da condição de volume.
2x^2 h = 128
h = \frac{128}{2x^2} = \frac{64}{x^2}.
Portanto h em \mathrm{dm} é \dfrac{64}{x^2}. Observe que x>0.

Passo 4

Áreas das faces e custo por face (tudo em \mathrm{dm} e \mathrm{dm}^2).
  • Área da base (única, sem tampa): \text{base} = \text{comprimento}\times\text{largura} = 2x\cdot x = 2x^2 ( \mathrm{dm}^2).
  • Áreas das quatro laterais:
    • Duas faces com dimensões comprimento \times altura: cada uma tem área 2x\cdot h, então as duas juntas têm 2\cdot(2x h)=4xh.
    • Duas faces com dimensões largura \times altura: cada uma tem área x\cdot h, então as duas juntas têm 2\cdot(x h)=2xh.
    • Total das laterais: 4xh+2xh=6xh.
      Custos por área:
  • Custo da base: \mathrm{R}\$\,3{,}00 por \mathrm{dm}^2.
  • Custo das laterais: \mathrm{R}\$\,2{,}00 por \mathrm{dm}^2.

Passo 5

Montar a função custo total C em função de x.
  • Custo da base: 3\cdot(\text{área da base}) = 3\cdot(2x^2)=6x^2á (reais).
  • Custo das laterais: 2\cdot(\text{área total das laterais}) = 2\cdot(6xh)=12xhá (reais).
    Logo a função custo é
C(x)=6x^2 + 12 x h.
Agora substituir h=\dfrac{64}{x^2} obtido no Passo 3.

Passo 6

Substituição de h e simplificação.
C(x)=6x^2 + 12x\left(\frac{64}{x^2}\right).
Calcular o segundo termo:
12x\cdot\frac{64}{x^2} = \frac{12\cdot64}{x} = \frac{768}{x}.
Portanto a função custo fica
C(x)=6x^2 + \frac{768}{x},\qquad x>0.
Essa é a função que vamos minimizar.

Passo 7

Derivada de C(x) e condição de extremo.
Calcule a derivada primeira:
C'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(6x^2\right)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{768}{x}\right) =12x - 768\,x^{-2}.
Para pontos críticos, resolver C'(x)=0:
12x - 768 x^{-2}=0.
Multiplicando ambos os lados por x^2 (positivo) para eliminar potências negativas:
12x^3 - 768 = 0
12x^3 = 768
x^3 = \frac{768}{12} = 64.
A solução real positiva é
x = \sqrt[3]{64} = 4\\ \mathrm{dm}.

Passo 8

Verificar que é mínimo usando a segunda derivada.
Calcule a derivada segunda:
C''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(12x - 768x^{-2}\right) = 12 + 1536 x^{-3}.
Para x=4,
C''(4)=12 + \frac{1536}{4^3}=12 + \frac{1536}{64}=12+24=36>0.
Como C''(4)>0, a função tem um mínimo local em x=4. Como C(x)\to+\infty quando x\to0^+ ou x\to+\infty, esse mínimo é o mínimo global.

Passo 9

Determinar as dimensões (em \mathrm{dm} e converter para cm).
  • Largura: x=4\\ \mathrm{dm}.
  • Comprimento: 2x=8\\ \mathrm{dm}.
  • Altura: h=\dfrac{64}{x^2}=\dfrac{64}{4^2}=\dfrac{64}{16}=4\\ \mathrm{dm}.
    Converter para centímetros ( 1\\ \mathrm{dm}=10\\ \mathrm{cm}):
  • Largura: 4\\ \mathrm{dm}=40\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento: 8\\ \mathrm{dm}=80\\ \mathrm{cm}.
  • Altura: 4\\ \mathrm{dm}=40\\ \mathrm{cm}.

Passo 10

Cálculo do custo mínimo.
Usar C(x)=6x^2+\dfrac{768}{x} com x=4:
C(4)=6\cdot 4^2 + \frac{768}{4} = 6\cdot 16 + 192 = 96 + 192 = 288.
Unidade: reais. Posso checar por componentes:
  • Área da base: 2x^2 = 2\cdot16=32\\ \mathrm{dm}^2. Custo da base: 3\cdot32=\mathrm{R}\$\,96.
  • Área total das laterais: 6xh = 6\cdot 4\cdot 4 = 96\\ \mathrm{dm}^2. Custo das laterais: 2\cdot96=\mathrm{R}\$\,192.
  • Soma: \mathrm{R}\$\,96+\mathrm{R}\$\,192=\mathrm{R}\$\,288. Confere com C(4).

Resposta

40\\ \text{cm}\times 80\\ \text{cm}\times 40\\ \text{cm}
\mathrm{R}\$\,288

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