(1,5 ponto) Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão a ser avaliada é
.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil para diferenças com cosseno é
Essa identidade vem de
; fazendo
obtém-se a forma acima. Vamos aplicar essa identidade com
.
Passo 3
Aplicando a identidade obtemos
Reescrevendo para evidenciar o limite do tipo
,
Agora escrevemos
como produto conveniente:
Elevando ao quadrado e substituindo,
Calculando o fator numérico,
Portanto
Passo 4
Usamos a propriedade clássica
Breve justificativa: pela série de Taylor
divide-se por
e vê-se que os termos além de
vão a zero quando
. Também pode ser justificado pela desigualdade geométrica
para
e pelo teorema do sanduíche. Fazendo a substituição
, quando
tem-se
e então
Passo 5
Aplicando o resultado do passo anterior à expressão do passo 3, o limite é