(1,5 ponto) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (3 x)-1}{5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{5x^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é x.
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{\cos(3x)-1}{5x^{2}}.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil para diferenças com cosseno é
\cos u - 1 = -2\sin^{2}\!\left(\frac{u}{2}\right).
Essa identidade vem de \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta; fazendo u=2\theta obtém-se a forma acima. Vamos aplicar essa identidade com u=3x.

Passo 3

Aplicando a identidade obtemos
\frac{\cos(3x)-1}{5x^{2}}=\frac{-2\sin^{2}\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{5x^{2}}.
Reescrevendo para evidenciar o limite do tipo \dfrac{\sin t}{t},
\frac{-2\sin^{2}\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{5x^{2}} =-\frac{2}{5}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{x}\right)^{2}.
Agora escrevemos \dfrac{\sin(\frac{3x}{2})}{x} como produto conveniente:
\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{x} =\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\cdot\frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado e substituindo,
\frac{\cos(3x)-1}{5x^{2}} =-\frac{2}{5}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\right)^{2}.
Calculando o fator numérico,
-\frac{2}{5}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{2}{5}\cdot\frac{9}{4}=-\frac{9}{10}.
Portanto
\frac{\cos(3x)-1}{5x^{2}} =-\frac{9}{10}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\right)^{2}.

Passo 4

Usamos a propriedade clássica
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Breve justificativa: pela série de Taylor \sin t=t-\dfrac{t^{3}}{6}+\cdots divide-se por t e vê-se que os termos além de 1 vão a zero quando t\to0. Também pode ser justificado pela desigualdade geométrica \cos t<\dfrac{\sin t}{t}<1 para t\in(0,\tfrac{\pi}{2}) e pelo teorema do sanduíche. Fazendo a substituição t=\dfrac{3x}{2}, quando x\to0 tem-se t\to0 e então
\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)}{\frac{3x}{2}}\right)^{2}=1^{2}=1.

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior à expressão do passo 3, o limite é
\lim_{x\to0}\frac{\cos(3x)-1}{5x^{2}}=-\frac{9}{10}\cdot 1 = -\frac{9}{10}.

Resposta

-\dfrac{9}{10}

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