(2 pontos) Determine e classifique os pontos críticos de f(x, y)=(x^2+y^2) e^y^2-x^2 e determine os seus respectivos valores.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = (x^2+y^2),e^,y^2-x^2
e determinar o valor de f em cada um deles. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da segunda derivada (Hessiano) para classificá-los.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Definindo r^2=x^2+y^2 e A=e^,y^2-x^2, temos
fx = partialpartial xl(r^2Ar) = 2x,A + r^2,Acdot(-2x) = 2x,Al(1 - r^2r),
fy = partialpartial yl(r^2Ar) = 2y,A + r^2,Acdot(2y) = 2y,Al(1 + r^2r)

Passo 3

Para pontos críticos impomos fx=0 e fy=0. Como A>0 sempre, segue
2x,(1 - r^2)=0, 2y,(1 + r^2)=0
Da segunda equação vem y=0. Substituindo em r^2=x^2, a primeira dá x(1 - x^2)=0, logo x=0 ou x=pm1. Assim os pontos críticos são
(0,0), (1,0),(-1,0)
Seus valores são
f(0,0)=0cdot e^0=0, f(pm1,0)=1cdot e^-1=e^-1

Passo 4

Para classificar usamos o Hessiano. Definindo
fxx=partial^2fpartial x^2, fyy=partial^2fpartial y^2, fxy=partial^2fpartial xpartial y,
o discriminante é
D = fxx,fyy - l(fxyr)^2
Cálculo das segundas derivadas (usando r^2=x^2+y^2 e A=e^,y^2-x^2):
fxx =2Al[(1 - r^2) - 2x^2(1 - r^2) - 2x^2r],
fyy =2Al[(1 + r^2) + 2y^2(2 + r^2)r],
fxy =-4,x,y,r^2,A

Passo 5

Avaliação em cada ponto:
No ponto (0,0):
r^2=0, A=1.
fxx(0,0)=2, fyy(0,0)=2, fxy(0,0)=0, D=2cdot2-0=4>0,
e fxx(0,0)>0 Rightarrow mínimo local.
Nos pontos (1,0) e (-1,0):
r^2=1, A=e^-1.
fxx=-4e^-1, fyy=4e^-1, fxy=0, D=(-4e^-1)(4e^-1)<0,
o que indica sela em cada um desses pontos.

Resposta

(0,0) é ponto de mínimo local e f(0,0)=0.
(1,0) e (-1,0) são pontos de sela e f(1,0)=f(-1,0)=e^-1.

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