(2 pontos) Determine e classifique os pontos críticos de
e determine os seus respectivos valores.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
e determinar o valor de
em cada um deles. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da segunda derivada (Hessiano) para classificá-los.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Definindo
e
, temos
Passo 3
Para pontos críticos impomos
e
. Como
sempre, segue
Da segunda equação vem
. Substituindo em
, a primeira dá
, logo
ou
. Assim os pontos críticos são
Seus valores são
Passo 4
Para classificar usamos o Hessiano. Definindo
o discriminante é
Cálculo das segundas derivadas (usando
e
):
Passo 5
Avaliação em cada ponto:
No ponto
:
,
.
e
mínimo local.
Nos pontos
e
:
,
.
o que indica sela em cada um desses pontos.