Se existir, escreva a equação da reta normal a curva
e que passe pela origem do sistema cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede a reta normal à curva dada por
que passe pela origem
. Precisamos: 1) parametrizar a curva como
, 2) calcular a derivada
para achar o coeficiente angular da tangente, 3) usar que o coeficiente angular da normal é
, 4) impor que essa normal passe por
e 5) resolver para o ponto de contato.
Passo 2
Da equação da curva isolamos
Para achar
, aplicamos a regra do quociente a
Temos
Passo 3
Num ponto de abscissa
a tangente tem coeficiente
e a normal
A reta normal em
é
Para que ela passe pela origem basta que, ao substituir
, tenhamos
Passo 4
Substituindo
e
na condição
leva, após simplificar, a um polinômio em
sem raízes não negativas. A única possibilidade é
. Nesse caso, da curva vem
.
Passo 5
Em
temos
logo o coeficiente angular da normal é
A reta normal em
com esse coeficiente é
Resposta
A equação da reta normal que passa pela origem é