Se existir, escreva a equação da reta normal a curva (x^2+4) y=4 x-x^3 e que passe pela origem do sistema cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva dada por
l(x^2+4r),y = 4x - x^3
que passe pela origem (0,0). Precisamos: 1) parametrizar a curva como y=y(x), 2) calcular a derivada y'(x) para achar o coeficiente angular da tangente, 3) usar que o coeficiente angular da normal é -1/y', 4) impor que essa normal passe por (0,0) e 5) resolver para o ponto de contato.

Passo 2

Da equação da curva isolamos
y = 4x - x^3x^2+4
Para achar y'(x), aplicamos a regra do quociente a
N(x)=4x - x^3, D(x)=x^2+4
Temos
y' = N',D - N,D'D^2 = (4 - 3x^2)(x^2+4) - (4x - x^3),(2x)(x^2+4)^2 = -x^4 +16x^2 -16(x^2+4)^2

Passo 3

Num ponto de abscissa x0 a tangente tem coeficiente mt=y'(x0) e a normal
mn = -1y'(x0) = (x0^2+4)^2,x0^4 +16x0^2 -16,
A reta normal em l(x0,y0r) é
y - y0 = mn,(x - x0)
Para que ela passe pela origem basta que, ao substituir (x,y)=(0,0), tenhamos
-,y0 = mn,(-,x0) Longrightarrow y0 = mn,x0

Passo 4

Substituindo y0=(4x0-x0^3)/(x0^2+4) e mn na condição
4x0-x0^3x0^2+4 = (x0^2+4)^2,x0^4 +16x0^2 -16,;x0,
leva, após simplificar, a um polinômio em A=x0^2 sem raízes não negativas. A única possibilidade é x0=0. Nesse caso, da curva vem y0=0.

Passo 5

Em x0=0 temos
y'(0) = -0+0-16(0+4)^2 = 1,
logo o coeficiente angular da normal é
mn = -11 = -1
A reta normal em (0,0) com esse coeficiente é
y - 0 = -1,l(x - 0r) Longrightarrow y = -x

Resposta

A equação da reta normal que passa pela origem é
y = -x

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