(2,0 pontos) Determine a solução geral da equação
\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x^{2}}=x \cos x
para x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (para x>0) e pede a solução geral:
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x^{2}}=x\cos x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação vale para x>0.
  • O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a família de soluções com constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro simplifico a equação para uma forma mais fácil de trabalhar. Multiplico ambos os lados por x (válido pois x>0, logo x\neq0):
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^{2}\cos x.
Agora a equação está escrita como uma equação diferencial de primeira ordem na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),
onde, neste caso, identificamos explicitamente P(x) e Q(x):
P(x)=-\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{2}\cos x.

Passo 3

Vou explicar a técnica que vou usar: fator integrante para equações lineares de primeira ordem. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y. Formalmente, deseja-se \mu(x) tal que
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Expandindo a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y.
Assim, para que os dois lados coincidam é preciso que \mu'(x)=\mu(x)P(x). Isso leva a
\frac{\mu'}{\mu}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu=\int P(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Isto é a fórmula do fator integrante. Aqui P(x)=-\dfrac{2}{x}.

Passo 4

Calculo o fator integrante \mu(x):
\int P(x)\,dx=\int -\frac{2}{x}\,dx=-2\ln x=\ln\big(x^{-2}\big),
portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln(x^{-2})\big)=x^{-2}.
Observação: como x>0, \ln x está bem definido e não há problema no passo acima.

Passo 5

Multiplico a equação simplificada por \mu(x)=x^{-2}. Começo do lado esquerdo:
x^{-2}\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}x^{-2}y = x^{-2}\frac{dy}{dx}-2x^{-3}y.
Repare que isso é exatamente a derivada do produto x^{-2}y:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-2}\frac{dy}{dx}-2x^{-3}y.
Assim, a equação multiplicada por \mu fica
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-2}\cdot x^{2}\cos x=\cos x.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)\,dx=\int \cos x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x^{-2}y. A integral do lado direito é \sin x mais constante arbitrária. Logo
x^{-2}y=\sin x + C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 7

Isolo y multiplicando ambos os lados por x^{2}:
y=x^{2}(\sin x + C)=x^{2}\sin x + Cx^{2}.
Esta é a solução geral da equação em x>0, com C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (para treinar a técnica de checagem): derivando a solução geral e substituindo na equação original confirma-se que a igualdade é satisfeita. Derivando
y'=2x\sin x + x^{2}\cos x + 2Cx,
então
\frac{1}{x}y' - \frac{2y}{x^{2}} = (x\cos x + 2\sin x + 2C) - (2\sin x + 2C)=x\cos x,
como requerido.

Resposta

y(x)=x^{2}\sin x + Cx^{2},\qquad C\in\mathbb{R}

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