(2,0 pontos) Determine a solução geral da equação
para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial (para
) e pede a solução geral:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação vale para
. - O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a família de soluções com constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro simplifico a equação para uma forma mais fácil de trabalhar. Multiplico ambos os lados por
(válido pois
, logo
):
Agora a equação está escrita como uma equação diferencial de primeira ordem na forma padrão
onde, neste caso, identificamos explicitamente
e
:
Passo 3
Vou explicar a técnica que vou usar: fator integrante para equações lineares de primeira ordem. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Formalmente, deseja-se
tal que
Expandindo a derivada do produto:
Assim, para que os dois lados coincidam é preciso que
. Isso leva a
Isto é a fórmula do fator integrante. Aqui
.
Passo 4
Calculo o fator integrante
:
portanto
Observação: como
,
está bem definido e não há problema no passo acima.
Passo 5
Multiplico a equação simplificada por
. Começo do lado esquerdo:
Repare que isso é exatamente a derivada do produto
:
Assim, a equação multiplicada por
fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
mais constante arbitrária. Logo
onde
é a constante de integração (real).
Passo 7
Isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Esta é a solução geral da equação em
, com
.
Passo 8
Verificação rápida (para treinar a técnica de checagem): derivando a solução geral e substituindo na equação original confirma-se que a igualdade é satisfeita. Derivando
então
como requerido.