(2,0 pontos) Em 2010 a Secretaria de Meio Ambiente de um município lançou em um lago 1000 peixes. Em 2017, a população de lagos do peixe foi estimada em 3000 . Supondo que a taxa de crescimento da população de peixes é proporcional a população de peixes em cada instante, estime qual será a população de peixes no ano de 2040.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Em 2010 a população era P(2010)=1000 peixes.
    • Em 2017 a população era P(2017)=3000 peixes.
    • Supõe-se que a taxa de crescimento é proporcional à população em cada instante (essa é a hipótese do enunciado).
  • O que se pede:
    • Estimar a população de peixes no ano 2040.

Passo 2

Modelagem: escrever a equação que traduz a hipótese “taxa de crescimento proporcional à população”.
  • Seja P(t) a população de peixes no instante t, medido em anos a partir de 2010. Ou seja, t=0 corresponde a 2010, t=7 corresponde a 2017, etc.
  • A hipótese “taxa proporcional à população” dá a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
onde k é a constante de proporcionalidade (a taxa de crescimento, com unidades de “por ano”). Explicando: \frac{dP}{dt} é a variação instantânea da população por ano, e dizer que isso é proporcional a P significa que existe um número k tal que essa relação vale para todos os instantes.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para obter a forma geral da solução (a solução padrão desse modelo).
  • Separando variáveis:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
  • Integrando ambos os lados:
\int \frac{dP}{P}=\int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln P = kt + C,
onde C é a constante de integração.
  • Exponenciando, obtemos a forma explícita
P(t)=P(0)e^{kt},
onde P(0)=e^{C} é a população inicial (em t=0, isto é, em 2010). Esta fórmula é a clássica de crescimento exponencial: a população cresce multiplicada por e^{kt}.

Passo 4

Determinar a constante k usando os dados fornecidos.
  • Pelo que escolhemos, P(0)=1000 (população em 2010).
  • Sabemos também que P(7)=3000 (população em 2017, isto é, t=7 anos depois de 2010).
  • Usando a solução:
P(7)=P(0)e^{7k}\quad\Rightarrow\quad 3000=1000\,e^{7k}.
  • Dividindo por 1000:
3=e^{7k}.
  • Tomando o logaritmo natural:
7k=\ln 3 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln 3}{7}.
  • Calculemos numericamente k. Como \ln 3\approx 1,098612289,
k \approx \frac{1,098612289}{7}\approx 0,156944613.
Isto significa que a taxa de crescimento é aproximadamente 0{,}1569 por ano, ou cerca de 15{,}69\% ao ano.

Passo 5

Calcular a população em 2040.
  • O ano 2040 fica 2040-2010=30 anos após 2010, ou seja t=30.
  • Usando a fórmula P(t)=1000\,e^{kt} com t=30 e k=\dfrac{\ln 3}{7}:
P(30)=1000\,e^{30k}=1000\,e^{30\left(\dfrac{\ln 3}{7}\right)}.
  • Podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
e^{30(\ln 3/7)}=e^{(\ln 3)(30/7)}=(e^{\ln 3})^{30/7}=3^{30/7}.
Logo
P(30)=1000\cdot 3^{30/7}.

Passo 6

Avaliação numérica detalhada (para fazer na prova sem depender só de mágica).
  • Primeiro calcule 30/7:
\frac{30}{7}\approx 4,285714286.
  • Então 3^{30/7}=3^{4,285714286}. Uma forma de avaliar é usar a relação 3^{a}=e^{a\ln 3}. Já temos \ln 3\approx 1,098612289, assim
30k=30\cdot\frac{\ln 3}{7}\approx 30\cdot 0,156944613 \approx 4,70833838.
  • Agora calcule e^{4,70833838}. Aproximação rápida (ou por calculadora da prova):
e^{4,70833838}\approx 110{,}85.
  • Finalmente:
P(30)=1000\cdot 110{,}85\approx 110\,850.

Passo 7

Interpretação e aviso prático.
  • Resultado: cerca de 110{,}85 mil peixes em 2040.
  • Aviso importante (qualitativo): esse modelo assume que a taxa de crescimento permanece constante e que não há limites ambientais, predação, pesca, doenças, etc. Na prática, populações reais tendem a saturar-se (modelos logísticos) ou sofrer variações; mas dado o enunciado, o modelo proporcional é a hipótese pedida e a resposta correta sob essa hipótese é a estimativa acima.

Resposta

110850 peixes (aproximadamente)

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