(2,0 pontos) Em 2010 a Secretaria de Meio Ambiente de um município lançou em um lago 1000 peixes. Em 2017, a população de lagos do peixe foi estimada em 3000 . Supondo que a taxa de crescimento da população de peixes é proporcional a população de peixes em cada instante, estime qual será a população de peixes no ano de 2040.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Em
a população era peixes. - Em
a população era peixes. - Supõe-se que a taxa de crescimento é proporcional à população em cada instante (essa é a hipótese do enunciado).
- Em
-
O que se pede:
- Estimar a população de peixes no ano
.
- Estimar a população de peixes no ano
Passo 2
Modelagem: escrever a equação que traduz a hipótese “taxa de crescimento proporcional à população”.
- Seja
a população de peixes no instante , medido em anos a partir de . Ou seja, corresponde a , corresponde a , etc. - A hipótese “taxa proporcional à população” dá a equação diferencial
onde
é a constante de proporcionalidade (a taxa de crescimento, com unidades de “por ano”). Explicando:
é a variação instantânea da população por ano, e dizer que isso é proporcional a
significa que existe um número
tal que essa relação vale para todos os instantes.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para obter a forma geral da solução (a solução padrão desse modelo).
- Separando variáveis:
- Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
- Exponenciando, obtemos a forma explícita
onde
é a população inicial (em
, isto é, em
). Esta fórmula é a clássica de crescimento exponencial: a população cresce multiplicada por
.
Passo 4
Determinar a constante
usando os dados fornecidos.
- Pelo que escolhemos,
(população em ). - Sabemos também que
(população em , isto é, anos depois de ). - Usando a solução:
- Dividindo por
:
- Tomando o logaritmo natural:
- Calculemos numericamente
. Como ,
Isto significa que a taxa de crescimento é aproximadamente
por ano, ou cerca de
ao ano.
Passo 5
Calcular a população em
.
- O ano
fica anos após , ou seja . - Usando a fórmula
com e :
- Podemos simplificar a expressão usando propriedades de potências:
Logo
Passo 6
Avaliação numérica detalhada (para fazer na prova sem depender só de mágica).
- Primeiro calcule
:
- Então
. Uma forma de avaliar é usar a relação . Já temos , assim
- Agora calcule
. Aproximação rápida (ou por calculadora da prova):
- Finalmente:
Passo 7
Interpretação e aviso prático.
- Resultado: cerca de
mil peixes em . - Aviso importante (qualitativo): esse modelo assume que a taxa de crescimento permanece constante e que não há limites ambientais, predação, pesca, doenças, etc. Na prática, populações reais tendem a saturar-se (modelos logísticos) ou sofrer variações; mas dado o enunciado, o modelo proporcional é a hipótese pedida e a resposta correta sob essa hipótese é a estimativa acima.