( 2,0 pontos) Determine a solução geral da equação
\left(x y+y^{2}+x^{2}\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (em forma diferencial) e pede a solução geral:
\left(x y+y^{2}+x^{2}\right) d x-x^{2} d y=0.
O que nos é fornecido explicitamente:
  • A equação diferencial de primeira ordem envolvendo x e y.
  • Não há condições iniciais; quer-se a solução geral (família de integrais).
    Observação: a equação está escrita em forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=x y+y^{2}+x^{2},\qquad N(x,y)=-x^{2}.
(O enunciado não fornece imagens nem outras informações.)

Passo 2

Vamos manipular a equação para colocá‑la na forma dy/dx=\cdots, porque isso ajuda a ver que tipo de substituição ou método usar. Dividindo ambos os lados por dx e isolando dy/dx temos
\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{x^{2}}=\frac{x y+y^{2}+x^{2}}{x^{2}}.
Agora simplificamos os termos dividindo por x^{2}:
\frac{dy}{dx}=\frac{x y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}} =\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1.
Repare que o lado direito é função apenas da razão \dfrac{y}{x}. Quando isso acontece, uma técnica padrão (e muito eficiente) é fazer a substituição
y=v x,
onde v é uma nova função de x (ou seja v=v(x)). Essa substituição reduz a equação a uma de variáveis separáveis. Vou explicar direitinho como e por quê nos próximos passos.

Passo 3

Primeiro calculemos dy/dx em termos de v e dv/dx. Como y=vx, pela regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Isto é só a derivada de v(x)\cdot x: derivada de v vezes x mais v vezes derivada de x.

Passo 4

Substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\,dv/dx na equação obtida no Passo 2. Lembrando que \dfrac{y}{x}=v e \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}=v^{2}, a equação
\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}
fica
v+x\frac{dv}{dx}=1+v+v^{2}.
Cancelamos v dos dois lados e obtemos uma equação para v:
x\frac{dv}{dx}=1+v^{2}.
Agora esta equação é separável: podemos escrever todos os termos com v de um lado e os termos com x do outro.

Passo 5

Separe as variáveis e integre:
\frac{dv}{1+v^{2}}=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido: a primitiva de \dfrac{1}{1+v^{2}} em v é \arctan(v), porque \dfrac{d}{dv}\arctan(v)=\dfrac{1}{1+v^{2}}. A primitiva de \dfrac{1}{x} em x é \ln|x|. Portanto, após integração:
\arctan(v)=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo em cima:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|x|+C.
Essa é a forma implícita da solução geral. Podemos também escrever explicitamente y em função de x: aplicando a função tangente em ambos os lados,
\frac{y}{x}=\tan\!\bigl(\ln|x|+C\bigr),
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y=x\,\tan\!\bigl(\ln|x|+C\bigr).
Comentário sobre domínios e casos especiais: a solução obtida exige x\neq0 (porque dividimos por x ao fazer v=y/x e usamos \ln|x|). Não existe uma solução constante v real que anule dv/dx porque 1+v^{2}>0 sempre; assim não há soluções constantes y=kx além das encontradas pela expressão com tangente. Tudo certo para x\neq0.

Resposta

\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|x|+C
\text{ou equivalentemente}\qquad y=x\,\tan\!\bigl(\ln|x|+C\bigr).

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