( 2,0 pontos) Determine a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial (em forma diferencial) e pede a solução geral:
O que nos é fornecido explicitamente:
- A equação diferencial de primeira ordem envolvendo
e . - Não há condições iniciais; quer-se a solução geral (família de integrais).
Observação: a equação está escrita em forma diferencialcom
(O enunciado não fornece imagens nem outras informações.)
Passo 2
Vamos manipular a equação para colocá‑la na forma
, porque isso ajuda a ver que tipo de substituição ou método usar. Dividindo ambos os lados por
e isolando
temos
Agora simplificamos os termos dividindo por
:
Repare que o lado direito é função apenas da razão
. Quando isso acontece, uma técnica padrão (e muito eficiente) é fazer a substituição
onde
é uma nova função de
(ou seja
). Essa substituição reduz a equação a uma de variáveis separáveis. Vou explicar direitinho como e por quê nos próximos passos.
Passo 3
Primeiro calculemos
em termos de
e
. Como
, pela regra do produto:
Isto é só a derivada de
: derivada de
vezes
mais
vezes derivada de
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação obtida no Passo 2. Lembrando que
e
, a equação
fica
Cancelamos
dos dois lados e obtemos uma equação para
:
Agora esta equação é separável: podemos escrever todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 5
Separe as variáveis e integre:
Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido: a primitiva de
em
é
, porque
. A primitiva de
em
é
. Portanto, após integração:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original usando
. Substituindo em cima:
Essa é a forma implícita da solução geral. Podemos também escrever explicitamente
em função de
: aplicando a função tangente em ambos os lados,
logo
Comentário sobre domínios e casos especiais: a solução obtida exige
(porque dividimos por
ao fazer
e usamos
). Não existe uma solução constante
real que anule
porque
sempre; assim não há soluções constantes
além das encontradas pela expressão com tangente. Tudo certo para
.