(2,0 pontos) O modelo de Thomson do átomo de hidrogênio é uma esfera de cargas positivas com um elétron (carga pontual) em seu centro. A carga positiva total é igual à carga eletrônica e. Mostre que, quando o elétron está a uma distância r do centro da esfera positiva de cargas, ele é atraído com uma força
F=e^2 r4 pi varepsilon0 R^3
onde R é o raio da esfera.

Passo 1

Resumo do enunciado: no modelo de Thomson, o átomo de hidrogênio é uma esfera de raio R carregada uniformemente com carga positiva total +e, e o elétron (carga -e) encontra-se no interior da esfera a uma distância r do centro. O que queremos é a força elétrica de atração sobre esse elétron. O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss aplicada a uma distribuição de carga volumétrica uniforme.

Passo 2

Cálculo da carga positiva efetiva dentro de uma esfera de raio r<= R: como a densidade volumétrica de carga é constante,
rho = etfrac43pi R^3,
a carga enclausurada em uma esfera de raio r vale
Qrm int = rho ,43pi r^3 = etfrac43pi R^3;43pi r^3 = e,r^3R^3

Passo 3

Uso da Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico a uma distância r do centro. Tomando uma superfície gaussiana esférica de raio r,
oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0 Longrightarrow E,(4pi r^2) = e,r^3/R^3varepsilon0
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E = 14pivarepsilon0;e,r^3R^3;1r^2 = e,r4pivarepsilon0R^3

Passo 4

Cálculo da força sobre o elétron: como sua carga é -e, a força de atração tem módulo
F = e,E = e ;e,r4pivarepsilon0R^3 = e^2r4pivarepsilon0R^3

Resposta

F = e^2r4pivarepsilon0R^3

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