(2,0 pontos) Na eletrodinâmica, potenciais
e
podem ser introduzidos tais que
Utilizando, então, o calibre de Lorenz
mostre que
Passo 1
O enunciado fornece as expressões dos campos em termos dos potenciais e a condição de calibre, e pede para mostrar duas equações de onda com fontes. Especificamente:
- Dados:
e o calibre de Lorenz - O que se pede: demonstrar que os potenciais satisfazem as equações
Observações úteis que usarei (tudo em unidades SI):
é a densidade de carga,
a densidade de corrente,
e
são as constantes do meio, e
satisfaz
. Não inicio a resolução aqui — só listei o que há e o que querem que mostremos.
Passo 2
Primeira equação: usar a lei de Gauss para o campo elétrico. A lei de Gauss em forma diferencial é
Substituo a expressão de
em termos dos potenciais:
Agora calculo cada termo separadamente. A divergência do gradiente é o laplaciano do escalar:
A divergência do termo temporal é a derivada temporal da divergência (operações de derivada espacial e temporal comutam):
Portanto a equação fica
Passo 3
Usar o calibre de Lorenz para eliminar
. Pela condição dada,
Faço a derivada temporal dessa relação:
Substituo na equação do Passo 2:
Isto simplifica para
Multiplico por
e reorganizo para obter a forma pedida:
Pronto: primeira equação demonstrada. (Comentário didático rápido: essa é uma equação de onda inhomogênea para
; o operador
às vezes é chamado de operador d’Alembertiano espacial-temporal.)
Passo 4
Segunda equação: usar a forma de Ampère–Maxwell. A equação de Ampère com correção de Maxwell é
Substituo
no lado esquerdo:
Uso a identidade vetorial (importante e muito útil)
onde
é o laplaciano aplicado componente a componente em
. Substituo a identidade:
Passo 5
Agora substituo
no termo temporal:
Assim a equação do passo anterior fica
Agrupo os termos que contêm gradientes:
Passo 6
Usar o calibre de Lorenz para cancelar o bloco entre colchetes. Pela condição de calibre,
logo
Mas
, portanto
Assim esses termos se cancelam exatamente, e resta
Multiplico por
e uso
para obter
Passo 7
Resumo didático final (como lembrar na prova): no calibre de Lorenz os termos gradiente vindos de
e
se cancelam nas equações de Maxwell quando se expressam
e
pelos potenciais. O resultado é que cada componente de
e de
satisfaz uma equação de onda inhomogênea com fonte (
ou
), isto é, as duas equações solicitadas aparecem de forma independente, prontas para serem resolvidas (por exemplo usando potenciais retardados). Força aí — a técnica principal para decorar e reproduzir na prova é: substituir nos Maxwell, aplicar identidade vetorial
, e usar o calibre de Lorenz para cancelar os termos de gradiente.