(2,0 pontos) Na eletrodinâmica, potenciais \varphi e \vec{A} podem ser introduzidos tais que
\vec{E}=-\vec{\nabla} \varphi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \quad \text { e } \quad \vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}
Utilizando, então, o calibre de Lorenz
\vec{\nabla} \cdot \vec{A}=-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial t}
mostre que
\nabla^{2} \varphi-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \quad \text { e } \quad \nabla^{2} \vec{A}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0} \vec{j}

Passo 1

O enunciado fornece as expressões dos campos em termos dos potenciais e a condição de calibre, e pede para mostrar duas equações de onda com fontes. Especificamente:
  • Dados: \vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t},\qquad \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A},e o calibre de Lorenz \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t}.
  • O que se pede: demonstrar que os potenciais satisfazem as equações \nabla^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \qquad\text{e}\qquad \nabla^{2}\vec{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\vec{j}.
Observações úteis que usarei (tudo em unidades SI): \rho é a densidade de carga, \vec{j} a densidade de corrente, \varepsilon_{0} e \mu_{0} são as constantes do meio, e c satisfaz c^{2}=1/(\varepsilon_{0}\mu_{0}). Não inicio a resolução aqui — só listei o que há e o que querem que mostremos.

Passo 2

Primeira equação: usar a lei de Gauss para o campo elétrico. A lei de Gauss em forma diferencial é
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Substituo a expressão de \vec{E} em termos dos potenciais:
\vec{\nabla}\cdot\left(-\vec{\nabla}\varphi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Agora calculo cada termo separadamente. A divergência do gradiente é o laplaciano do escalar:
\vec{\nabla}\cdot\big(-\vec{\nabla}\varphi\big)=-\nabla^{2}\varphi.
A divergência do termo temporal é a derivada temporal da divergência (operações de derivada espacial e temporal comutam):
\vec{\nabla}\cdot\left(-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial t}\big(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\big).
Portanto a equação fica
-\nabla^{2}\varphi-\frac{\partial}{\partial t}\big(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\big)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Usar o calibre de Lorenz para eliminar \vec{\nabla}\cdot\vec{A}. Pela condição dada,
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t}.
Faço a derivada temporal dessa relação:
\frac{\partial}{\partial t}\big(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\big)=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}.
Substituo na equação do Passo 2:
-\nabla^{2}\varphi -\left(-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Isto simplifica para
-\nabla^{2}\varphi +\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Multiplico por -1 e reorganizo para obter a forma pedida:
\nabla^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Pronto: primeira equação demonstrada. (Comentário didático rápido: essa é uma equação de onda inhomogênea para \varphi; o operador \nabla^{2}-(1/c^{2})\partial^{2}/\partial t^{2} às vezes é chamado de operador d’Alembertiano espacial-temporal.)

Passo 4

Segunda equação: usar a forma de Ampère–Maxwell. A equação de Ampère com correção de Maxwell é
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{j}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Substituo \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A} no lado esquerdo:
\vec{\nabla}\times\big(\vec{\nabla}\times\vec{A}\big)=\mu_{0}\vec{j}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Uso a identidade vetorial (importante e muito útil)
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\nabla^{2}\vec{A},
onde \nabla^{2}\vec{A} é o laplaciano aplicado componente a componente em \vec{A}. Substituo a identidade:
\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\nabla^{2}\vec{A}=\mu_{0}\vec{j}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.

Passo 5

Agora substituo \vec{E}=-\vec{\nabla}\varphi-\partial\vec{A}/\partial t no termo temporal:
\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\left(-\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}\right).
Assim a equação do passo anterior fica
\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\nabla^{2}\vec{A} =\mu_{0}\vec{j}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}.
Agrupo os termos que contêm gradientes:
\bigg[\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})+\mu_{0}\varepsilon_{0}\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\bigg] -\nabla^{2}\vec{A}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=\mu_{0}\vec{j}.

Passo 6

Usar o calibre de Lorenz para cancelar o bloco entre colchetes. Pela condição de calibre,
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t},
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\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})=-\frac{1}{c^{2}}\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}.
Mas \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2}, portanto
\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})+\mu_{0}\varepsilon_{0}\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t} =-\frac{1}{c^{2}}\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{1}{c^{2}}\vec{\nabla}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.
Assim esses termos se cancelam exatamente, e resta
-\nabla^{2}\vec{A}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=\mu_{0}\vec{j}.
Multiplico por -1 e uso \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2} para obter
\nabla^{2}\vec{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\vec{j}.

Passo 7

Resumo didático final (como lembrar na prova): no calibre de Lorenz os termos gradiente vindos de \varphi e \vec{A} se cancelam nas equações de Maxwell quando se expressam \vec{E} e \vec{B} pelos potenciais. O resultado é que cada componente de \varphi e de \vec{A} satisfaz uma equação de onda inhomogênea com fonte ( \rho ou \vec{j}), isto é, as duas equações solicitadas aparecem de forma independente, prontas para serem resolvidas (por exemplo usando potenciais retardados). Força aí — a técnica principal para decorar e reproduzir na prova é: substituir nos Maxwell, aplicar identidade vetorial \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\nabla^{2}\vec{A}, e usar o calibre de Lorenz para cancelar os termos de gradiente.

Resposta

\nabla^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\nabla^{2}\vec{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\vec{j}

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