Questão 02 - Explique os conceitos de propriedade termométrica, escala termométrica e termoscópio e por fim como a partir dos anteriores podemos construir um termômetro. Mostre como chegar às relações entre as escalas Celsius, Kelvin e Fahrenheit.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Explicar o que é uma propriedade termométrica, o que é uma escala termométrica e o que é um termoscópio.
- Explicar como, a partir desses conceitos, se constrói um termômetro (isto é, como se calibra e transforma um termoscópio numa escala numérica).
- Mostrar matematicamente as relações entre as escalas Celsius, Kelvin e Fahrenheit.
Informações relevantes (o que o enunciado nos dá / exige):
- É necessário dar definições didáticas e exemplos concretos.
- É necessário deduzir as fórmulas de conversão entre as escalas, usando os pontos fixos convencionados (ponto de gelo e ponto de ebulição da água para Celsius e Fahrenheit; origem absoluta e mesma magnitude de grau para Kelvin).
- Não há outros dados numéricos fornecidos; usarei os pontos fixos históricos padrão:
- Para Celsius:
= ponto de gelo (água em equilíbrio gelo–água) e = ponto de ebulição da água (à pressão atmosférica normal). - Para Fahrenheit:
= ponto de gelo e = ponto de ebulição (à mesma condição). - Para Kelvin: escala absoluta com mesmo tamanho de grau que o grau Celsius e tal que
= zero absoluto; convencionou‑se .
- Para Celsius:
Passo 2
O que é uma propriedade termométrica? (explicação didática e requisitos)
- Definição clara: uma propriedade termométrica é alguma grandeza física mensurável de um corpo que varia quando sua temperatura muda. Denotando essa propriedade por
, ela é uma função da temperatura verdadeira , ou seja . - Requisitos essenciais para ser útil em termometria:
- Monotonicidade:
deve ser monotônica (sempre cresce ou sempre decresce) no intervalo de temperaturas de interesse, para que uma variação de corresponda univocamente a uma variação de . Se não for monotônica, não dá para ordenar temperaturas. - Reprodutibilidade: medições repetidas de
em mesmas condições devem dar o mesmo valor dentro de incerteza aceitável. - Sensibilidade: variação de
por unidade de temperatura deve ser grande o suficiente para distinguir mudanças desejadas. - Estabilidade e pouca histerese: resposta não deve depender de histórico térmico ou mudar com o tempo.
- Monotonicidade:
- Exemplos concretos:
- Comprimento da coluna de mercúrio em um capilar (termômetros de mercúrio):
= comprimento, praticamente linear com em intervalo. - Resistência elétrica de um metal ou termistor:
= resistência . - Pressão de um gás a volume constante:
= pressão , usando a lei dos gases (aproximadamente linear em certa faixa). - Tensão de um termopar (EMF):
= tensão gerada.
- Comprimento da coluna de mercúrio em um capilar (termômetros de mercúrio):
Passo 3
O que é um termoscópio? (explicação prática)
- Definição: um termoscópio é um dispositivo que mostra mudanças na temperatura sem atribuir números; ele transforma uma propriedade termométrica em um efeito observável (por exemplo, subir/descer de mercúrio, movimento de um pêndulo térmico, variação de resistência produzindo variação de corrente).
- Natureza: termoscópio apenas indica que uma amostra está mais quente ou mais fria em relação a outra; não é um termômetro até ser calibrado.
- Exemplos simples:
- Tubo com mercúrio: ao aquecer, mercúrio sobe — instrumento é um termoscópio.
- Balão de vidro conectado a manômetro: pressão sobe com temperatura — mostra variação, é um termoscópio.
Passo 4
O que é uma escala termométrica? (da ideia à formalização)
- Definição: uma escala termométrica associa números (unidades de temperatura) a estados térmicos de modo reprodutível. Formalmente, é uma função que dá uma temperatura numérica
em função da propriedade medida : por exemplo . - Como construir uma escala (princípios):
- Escolher uma propriedade termométrica
. - Selecionar pontos fixos (condições reprodutíveis) e atribuir a esses pontos números convenientes: por exemplo, dividir uma faixa entre dois pontos fixos em 100 partes (como 0 e 100).
- Interpolar entre os pontos fixos: se assumirmos que
é linear (aproximação válida para muitos termômetros práticos numa faixa), então a relação entre e a temperatura numérica é afim (reta): ou invertendo .
- Escolher uma propriedade termométrica
- Ponto fixo: estado físico reproduzível (ex.: mistura água–gelo em equilíbrio, água em ebulição sob pressão definida, ponto triplo da água). Padrões modernos usam o ponto triplo da água por ser muito reproduzível.
Passo 5
Como transformar um termoscópio num termômetro — procedimento passo a passo (calibração com dois pontos)
- Suposição prática: em muitos termômetros clássicos,
- Se quisermos a temperatura numerada por uma escala
(por exemplo em graus Celsius), e for o que medimos, podemos inverter:
onde
e
são constantes obtidas pela calibração.
- Calibração com dois pontos fixos: suponha que para temperaturas
e medimos e . Então, resolvendo o sistema
obtemos
- Para a escala numérica desejada (por exemplo
e
), monta‑se a transformação linear entre e . Em termos práticos, para escalas convencionais usa‑se dois pontos padronizados (ponto de gelo e de ebulição da água ou ponto triplo).]
Passo 6
Aplicando ao caso concreto: derivando a relação Celsius–Fahrenheit (passo a passo algébrico)
- Notação: denotar por
a temperatura em graus Celsius e por a temperatura em graus Fahrenheit. - Pontos fixos convencionais:
- Ponto de gelo:
corresponde a . - Ponto de ebulição (à pressão padrão):
corresponde a .
- Ponto de gelo:
- Assumimos que a relação é linear: em bloco
com constantes
e
.
- Usar os dois pontos para achar
e : - Para
: . - Para
: . - Logo
- Para
- Portanto a relação direta é (em bloco)
- A inversa, isolando
, é (em bloco)
Passo 7
Relação entre Celsius e Kelvin (origem e magnitude do grau)
- Conceito: a escala Kelvin é uma escala absoluta de temperatura. O tamanho de
é exatamente igual ao tamanho de (mesma magnitude de grau), a diferença está apenas na origem: é o zero absoluto. - Convenção prática adotada internacionalmente (por definição do sistema): a relação é (em bloco)
onde
é a temperatura em kelvin e
em graus Celsius.
- Observação didática: este deslocamento vem da escolha histórica de que
corresponde a . O valor de vem da fixação do ponto triplo da água em e da definição de escala Celsius de modo que é .
Passo 8
Relações entre Fahrenheit e Kelvin (composição das fórmulas)
- Combine as duas relações obtidas:
-
. -
(aqui escrevemos para enfatizar graus Celsius).
-
- Substitua
na fórmula de Fahrenheit:
- Esta é a relação direta Kelvin → Fahrenheit. A inversa (Fahrenheit → Kelvin) isolando
:
Passo 9
Exemplos numéricos (aplicação prática para fixar a ideia)
- Converter
para Kelvin: - Em bloco:
- Em bloco:
- Converter
para Fahrenheit: - Em bloco:
- Em bloco:
- Converter
para Kelvin usando a fórmula composta: - Em bloco:
- Em bloco:
Passo 10
Limitações, observações práticas e modernidade
- Linearidade é uma aproximação: nem toda propriedade é perfeitamente linear com
em toda a faixa; termômetros de mercúrio e de resistência são aproximadamente lineares em faixas úteis. Para alta precisão usam-se tabelas e padrões (ITS‑90). - Padrões modernos preferem pontos fixos reproducíveis como o ponto triplo da água e a definição termodinâmica de Kelvin ligada à constante de Boltzmann (para metrologia de alta precisão).
- Pressão e pureza importam: ponto de ebulição da água muda com a pressão, por isso as definições usam condições padronizadas ou o ponto triplo (que é independente da pressão ambiente).
- Resumindo o procedimento prático: transformar um termoscópio num termômetro = escolher propriedade
→ medir em dois pontos fixos padronizados → assumir (ou conhecer) a relação → definir transformação linear para atribuir números (graus) → eventualmente usar mais pontos para correção não linear.
Resposta
Propriedade termométrica: grandeza física
que varia com a temperatura
, útil se for monotônica, reprodutível, sensível e estável.
Termoscópio: dispositivo que mostra variação de (indica mais quente/mais frio) sem escalar numericamente.
Escala termométrica / construção de termômetro: escolher , fixar pontos fixos reproduzíveis, calibrar (comumente por dois pontos) e assumir/interpolar a relação
para obter
(escala numérica).
Relações entre escalas:
Termoscópio: dispositivo que mostra variação de
Escala termométrica / construção de termômetro: escolher
Relações entre escalas: