(1.3 pontos) (a) Encontre a série de Taylor de
(escreva seu termo geral).
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. A série de Taylor é uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
:
Aqui,
é a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para a nossa função
em
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
. Observamos que:
A derivada de
em relação a
é
, e assim por diante para as derivadas de ordem superior. Isso nos mostra que a n-ésima derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
:
Substituindo isso na fórmula da série de Taylor, temos:
Resposta
A série de Taylor de
em
é: