Calcule as integrais integral x^2+5(x-3)(x-2)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Precisamos calcular a integral de uma função racional, especificamente integral x^2+5(x-3)(x-2)^2 , dx. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de frações parciais, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para integrar expressões racionais.

Passo 2

Vamos começar decompondo a fração em frações parciais. Queremos escrever:
x^2+5(x-3)(x-2)^2 = Ax-3 + Bx-2 + C(x-2)^2
Onde A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pela expressão denominadora (x-3)(x-2)^2 para eliminar os denominadores:
x^2 + 5 = A(x-2)^2 + B(x-3)(x-2) + C(x-3)

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de x que simplificam a equação. Começando com x = 3:
3^2 + 5 = A(3-2)^2 + B(0) + C(0) 9 + 5 = A(1) 14 = A
Portanto, A = 14.

Passo 5

Em seguida, escolhemos x = 2:
2^2 + 5 = A(0) + B(2-3)(0) + C(2-3) 4 + 5 = -C 9 = -C C = -9
Então, C = -9.

Passo 6

Para encontrar B, podemos escolher outro valor de x, por exemplo, x = 0:
0^2 + 5 = A(0-2)^2 + B(0-3)(0-2) + C(0-3) 5 = 14 cdot 4 + B cdot 6 + (-9) cdot (-3) 5 = 56 + 6B + 27 5 = 83 + 6B 6B = 5 - 83 6B = -78 B = -13
Portanto, B = -13.

Passo 7

Agora que temos A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
x^2+5(x-3)(x-2)^2 = 14x-3 - 13x-2 - 9(x-2)^2

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 14x-3 , dx - integral 13x-2 , dx - integral 9(x-2)^2 , dx
Integrando cada parte:
14 ln|x - 3| - 13 ln|x - 2| + 9x - 2 + C

Resposta

A integral é igual a 14 ln|x - 3| - 13 ln|x - 2| + dfrac9x - 2 + C.

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