Além disso, calcule o Wronksiano do sistema fundamental das soluções encontradas
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Resolver o problema de valor inicial
4 y''+12 y'+9 y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-4.
Calcular o Wronksiano (Wronskian) do sistema fundamental de soluções encontrado.
Informações dadas:
\text{o EDO homogênea: }4 y''+12 y'+9 y=0,
\text{condições iniciais: }y(0)=1,\;y'(0)=-4.
Passo 2
Explicação do método (passo-a-passo): para resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo na equação obtemos a equação característica (polinômio em r) que determina os possíveis valores de r.
Aplicando isso aqui: substituindo y=e^{r x} em 4y''+12y'+9y=0 dá a equação característica
4 r^2 + 12 r + 9 = 0.
Agora calculamos as raízes desse polinômio. Use a fórmula do discriminante:
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2\cdot 4} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}.
Passo 3
Quando a equação característica apresenta uma raiz real dupla r, a forma geral da solução é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{r x},
porque além de e^{r x} surge x e^{r x} como segunda solução linearmente independente (isso é resultado padrão para raízes múltiplas). Aqui, com r=-\tfrac{3}{2}, a solução geral é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{-\tfrac{3}{2}x}.
Um exemplo rápido para fixar: se tivéssemos y''-2y'+1y=0, a característica seria (r-1)^2=0 e a solução seria (C_1+C_2 x)e^{x}. Mesmo raciocínio usado aqui.
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.