(2 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-4
Além disso, calcule o Wronksiano do sistema fundamental das soluções encontradas

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Resolver o problema de valor inicial
4 y''+12 y'+9 y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-4.
  • Calcular o Wronksiano (Wronskian) do sistema fundamental de soluções encontrado.
Informações dadas:
\text{o EDO homogênea: }4 y''+12 y'+9 y=0,ê
\text{condições iniciais: }y(0)=1,\;y'(0)=-4.çõ

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo): para resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo na equação obtemos a equação característica (polinômio em r) que determina os possíveis valores de r.
Aplicando isso aqui: substituindo y=e^{r x} em 4y''+12y'+9y=0 dá a equação característica
4 r^2 + 12 r + 9 = 0.
Agora calculamos as raízes desse polinômio. Use a fórmula do discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4\cdot 4\cdot 9 = 144 - 144 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2\cdot 4} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}.

Passo 3

Quando a equação característica apresenta uma raiz real dupla r, a forma geral da solução é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{r x},
porque além de e^{r x} surge x e^{r x} como segunda solução linearmente independente (isso é resultado padrão para raízes múltiplas). Aqui, com r=-\tfrac{3}{2}, a solução geral é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{-\tfrac{3}{2}x}.
Um exemplo rápido para fixar: se tivéssemos y''-2y'+1y=0, a característica seria (r-1)^2=0 e a solução seria (C_1+C_2 x)e^{x}. Mesmo raciocínio usado aqui.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.
Primeiro, y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x),
y(0) = \big(C_1 + C_2\cdot 0\big)e^{0} = C_1 = 1.
Logo
C_1 = 1.
Em seguida, calculamos y'(x). Diferenciando
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{r x}\quad\text{com }r=-\tfrac{3}{2},
usamos a regra do produto:
y'(x) = C_2 e^{r x} + \big(C_1 + C_2 x\big) r e^{r x}.
Fatorando e^{r x},
y'(x) = e^{r x}\big( C_2 + r C_1 + r C_2 x\big).
Em x=0,
y'(0) = C_2 + r C_1.
Usando y'(0)=-4, C_1=1 e r=-\tfrac{3}{2},
-4 = C_2 + \Big(-\tfrac{3}{2}\Big)\cdot 1 = C_2 - \tfrac{3}{2}.
Isolando C_2,
C_2 = -4 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{8}{2} + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{5}{2}.

Passo 5

Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = \Big(1 - \tfrac{5}{2}x\Big) e^{-\tfrac{3}{2}x}.
Conferência rápida (opcional): y(0)=1 claro; y'(0)= -\tfrac{3}{2}\cdot 1 + C_2 = -\tfrac{3}{2} -\tfrac{5}{2} = -4, bate.

Passo 6

Agora vamos calcular o Wronksiano do sistema fundamental de soluções. Um sistema fundamental para uma raiz dupla é, por exemplo,
y_1(x) = e^{-\tfrac{3}{2}x},\qquad y_2(x) = x e^{-\tfrac{3}{2}x}.
O Wronksiano W(x) de duas funções y_1,y_2 é definido por
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1 y_2' - y_2 y_1'.
Calculamos as derivadas:
y_1'(x)= -\tfrac{3}{2} e^{-\tfrac{3}{2}x},
y_2'(x)= e^{-\tfrac{3}{2}x} + x\big(-\tfrac{3}{2}\big) e^{-\tfrac{3}{2}x} = e^{-\tfrac{3}{2}x}\big(1 - \tfrac{3}{2}x\big).
Agora o determinante:
W(x)= e^{-\tfrac{3}{2}x}\cdot e^{-\tfrac{3}{2}x}\big(1 - \tfrac{3}{2}x\big) - x e^{-\tfrac{3}{2}x}\cdot\big(-\tfrac{3}{2}\big)e^{-\tfrac{3}{2}x}.
Fatorando e^{-3x} (pois e^{-\tfrac{3}{2}x}\cdot e^{-\tfrac{3}{2}x}=e^{-3x}):
W(x)= e^{-3x}\Big(1 - \tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{2}x\Big) = e^{-3x}\cdot 1 = e^{-3x}.
Logo o Wronksiano é W(x)=e^{-3x}, que é nunca nulo, confirmando que y_1 e y_2 são linearmente independentes e formam um sistema fundamental.

Resposta

y(x)=\Big(1 - \tfrac{5}{2}x\Big) e^{-\tfrac{3}{2}x}
W(x)=e^{-3x}

Exercícios relacionados