(2 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(\pi / 2)=0, \quad y^{\prime}(\pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Dados:
y''-2y'+5y=0,
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial em um polinômio característico — técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes. Substituímos y(x)=e^{rx} (isso é uma tentativa geral que funciona para esse tipo de equação) em
y''-2y'+5y=0.
Ao substituir y=e^{rx} obtemos a equação para r:
r^{2}-2r+5=0.
Essa é a chamada equação característica. Explico: se y=e^{rx} então y'=r e^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}; como e^{rx}\neq0, os coeficientes devem satisfazer r^{2}-2r+5=0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática \,r^{2}-2r+5=0. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}.
Como \sqrt{-16}=4i, temos
r=1\pm 2i.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas \,r_{1}=1+2i e \,r_{2}=1-2i.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas a\pm b i, a solução geral real da equação diferencial homogênea é
y(x)=e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais. Aqui a=1 e b=2. Assim a solução geral é
y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big).
Explicação didática: e^{(1\pm 2i)x}=e^{x}(\cos 2x \pm i\sin 2x); as combinações lineares das partes real e imaginária geram as funções reais \cos e \sin multiplicadas por e^{x}.

Passo 5

Precisamos aplicar as condições iniciais, então calculamos y'(x). Diferenciando produto e^{x} vezes a combinação trigonométrica:
y(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big).
Usamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u=e^{x} e v=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x). Então u'=e^{x} e
v'=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)
(pois \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x) e \frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)). Assim
y'(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+e^{x}\big(-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)\big).
Fatorando e^{x} e agrupando termos:
y'(x)=e^{x}\big((C_{1}+2C_{2})\cos(2x)+(C_{2}-2C_{1})\sin(2x)\big).

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais em x=\frac{\pi}{2}.
Primeira condição: y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Usando a solução geral,
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\big(C_{1}\cos(\pi)+C_{2}\sin(\pi)\big).
Sabemos \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0. Logo
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\big(-C_{1}+0\big)=-C_{1}e^{\pi/2}=0.
Como e^{\pi/2}\neq0, segue que
C_{1}=0.

Passo 7

Segunda condição: y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Usando a expressão de y'(x),
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\big((C_{1}+2C_{2})\cos(\pi)+(C_{2}-2C_{1})\sin(\pi)\big).
Novamente \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0. Então
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\big(-(C_{1}+2C_{2})+0\big)=-e^{\pi/2}(C_{1}+2C_{2})=0.
Como e^{\pi/2}\neq0, temos
C_{1}+2C_{2}=0.
Substituindo C_{1}=0 (obtido no passo anterior), vem 2C_{2}=0, portanto
C_{2}=0.

Passo 8

Com C_{1}=0 e C_{2}=0, a solução geral fica a função identicamente zero:
y(x)=e^{x}\big(0\cdot\cos(2x)+0\cdot\sin(2x)\big)=0.
Observação teórica e de encorajamento: para uma equação linear homogênea de segunda ordem, o teorema de existência e unicidade garante que existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais; aqui essa única solução é a solução trivial y\equiv0. É comum (e totalmente normal!) que condições iniciais iguais a zero gerem a solução zero — não significa que a estratégia esteja errada, é o comportamento esperado.

Resposta

y(x)\equiv 0

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