(2 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Dados:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial em um polinômio característico — técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes. Substituímos
(isso é uma tentativa geral que funciona para esse tipo de equação) em
Ao substituir
obtemos a equação para
:
Essa é a chamada equação característica. Explico: se
então
e
; como
, os coeficientes devem satisfazer
.
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Como
, temos
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a solução geral real da equação diferencial homogênea é
onde
e
são constantes reais. Aqui
e
. Assim a solução geral é
Explicação didática:
; as combinações lineares das partes real e imaginária geram as funções reais
e
multiplicadas por
.
Passo 5
Precisamos aplicar as condições iniciais, então calculamos
. Diferenciando produto
vezes a combinação trigonométrica:
Usamos a regra do produto:
. Aqui
e
. Então
e
(pois
e
). Assim
Fatorando
e agrupando termos:
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais em
.
Primeira condição:
. Usando a solução geral,
Sabemos
e
. Logo
Como
, segue que
Passo 7
Segunda condição:
. Usando a expressão de
,
Novamente
e
. Então
Como
, temos
Substituindo
(obtido no passo anterior), vem
, portanto
Passo 8
Com
e
, a solução geral fica a função identicamente zero:
Observação teórica e de encorajamento: para uma equação linear homogênea de segunda ordem, o teorema de existência e unicidade garante que existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais; aqui essa única solução é a solução trivial
. É comum (e totalmente normal!) que condições iniciais iguais a zero gerem a solução zero — não significa que a estratégia esteja errada, é o comportamento esperado.