2,5 pontos Enuncie os quatro postulados em que Bohr se baseou para propor o seu modelo de átomo de hidrogênio e deduza: (i) os raios das órbitas permitidas e (ii) os valores da energia total

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
  1. Enunciar os quatro postulados do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.
  2. Deduzir (i) os raios das órbitas permitidas e (ii) os valores da energia total de cada nível.
Conteúdo: modelo atômico de Bohr, quantização de momento angular, equilíbrio de forças (Coulomb x centrípeta), energia cinética e potencial. Vamos precisar de eletrostática básica, da quantização do momento angular ( ) e da ideia de níveis de energia discretos.

Passo 2

Primeiro, os quatro postulados de Bohr (em linguagem direta):
  1. O elétron gira em órbitas circulares ao redor do próton sem emitir radiação (órbitas “estacionárias”).
  2. Nem toda órbita é permitida – só aquelas em que o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro de L = m v r = nhbar, n=1,2,3,dots: De
  3. Se o elétron “salta” de uma órbita m v^2r = 14pivarepsilon0,e^2r^2 para outra , o átomo emite ou absorve um fóton de energia
  4. A força que mantém o elétron na órbita é a força de Coulomb, que fornece a aceleração centrípeta necessária:

Passo 3

Agora vamos deduzir o raio mv^2r=14pivarepsilon0,e^2r^2tag1 da m v r = nhbartag2-ésima órbita.
Usamos duas condições simultâneas:
a) Equilíbrio de forças (Coulomb = centrípeta):
v = nhbarm,rtag3
b) Quantização do momento angular:
m1rl(nhbarm,rr)^2 = 14pivarepsilon0,e^2r^2,implies n^2hbar^2m,r^3 = e^24pivarepsilon0,r^2
Da (2) isolamos r = 4pivarepsilon0,hbar^2m e^2;n^2 equiv a0,n^2,:
a0 = 4pivarepsilon0,hbar^2m e^2approx 0,529times10^-10, m
Substituindo (3) em (1):
Simplificando:
onde é o raio de Bohr:

Passo 4

Vamos calcular a energia total K = tfrac12 m v^2 do elétron na órbita U = -14pivarepsilon0,e^2r.
– Energia cinética:
m v^2 = 14pivarepsilon0,e^2r ;Longrightarrow; K = 12,14pivarepsilon0,e^2r
– Energia potencial (Coulombiana):
En = K + U = 12,e^24pivarepsilon0,r ;-;e^24pivarepsilon0,r = -12,e^24pivarepsilon0,rtag4
Da equação (1) vimos que
En = -12,e^24pivarepsilon0,a0,n^2
Logo
a0 = 4pivarepsilon0,hbar^2m e^2,
Substituindo En = -12,e^24pivarepsilon0, m e^24pivarepsilon0,hbar^2,1n^2 = -m e^48varepsilon0^2,h^2,1n^2:
Como
temos

Passo 5

Para termos uma ideia numérica, em unidades de elétron‐volt:
En = -13,6 eVn^2

Resposta

(i) Raios permitidos:
rn = a0,n^2, a0 = 4pivarepsilon0,hbar^2m e^2approx 0,529,Å Å
(ii) Energia total dos níveis:
En = -m e^48varepsilon0^2,h^2,1n^2 = -13,6 eVn^2

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