2,5 pontos Uma partícula é descrita por uma função de onda dada por
psi(x)=A e^-alpha x^2
onde A e alpha são constantes reais positivas. Normalize a função de onda dada e utilize ela já normalizada para calcular o valor médio de x^2, ou seja calcule x^2 para esta função de onda.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a função de onda de uma partícula é
psi(x)=A,e^-alpha x^2,
com e , e pede:
  1. Normalizar .
  2. Calcular o valor médio .
Aqui estamos em Mecânica Quântica, usando a condição de normalização

e a definição de valor médio
.

Passo 2

Primeiro, normalização. A gente impõe
integral-infty^infty|psi(x)|^2,dx =integral-infty^inftyA^2e^-2alpha x^2,dx =1
Sabendo a integral gaussiana básica
integral-infty^inftye^-,beta x^2,dx=raizpibeta,
com A^2,raizpi2alpha=1 Longrightarrow A^2=raiz2alphapi Longrightarrow A=l(2alphapir)^!1/4 , dá

Passo 3

Agora, lang<= x^2rang<= =integral-infty^inftyx^2|psi|^2,dx =A^2integral-infty^inftyx^2e^-2alpha x^2,dx .
integral-infty^inftyx^2e^-beta x^2,dx =12,raizpibeta^3,
Outro resultado padrão de integral gaussiana é
integral-infty^inftyx^2e^-2alpha x^2,dx =12,raizpi(2alpha)^3 =12,raizpi(2alpha)^3/2
aqui com lang<= x^2rang<= =raiz2alphapi ;times; 12,raizpi(2alpha)^3/2 =12,raiz2alpha(2alpha)^3/2 =12,12alpha =14alpha . Então
Multiplicando por :

Resposta

A função de onda normalizada é
psi(x)=l(tfrac2alphapir)^!1/4e^-alpha x^2,
e o valor médio de boxedlang<= x^2rang<==14alpha vale

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