4- (1,5 pontos) Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede que seja esboçado o gráfico da função
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
dada por . - A tarefa é desenhar (esboçar) a superfície
no espaço .
Passo 2
Entendimento inicial e propriedade chave (explicada com calma): a expressão
depende apenas de
, não depende de
. Isso significa, em palavras simples:
- Para cada valor fixo de
a altura é a mesma para todo . - Geometricamente, a superfície é obtida tomando a parábola no plano
e “esticando” (extrudando) essa curva ao longo de todo o eixo . O nome técnico para isso é “cilindro parabólico” (parabólico no sentido de que as seções são parábolas).
Passo 3
Determine domínio e imagem (faixa de
) e ponto(s) notáveis:
- Domínio: todos os pares
. - Valor máximo ocorre em
: . Não existe valor de maior que . - Quando
, tem-se . Portanto a imagem é , ou seja, . - Linha de cume (vértice estendido): todos os pontos com
, isto é, a reta para todo .
Passo 4
Curvas de nível (contornos) — por que são úteis e como obtê-las:
- Para um nível
fixo, a equação é , logo . - Se
então ; cada nível corresponde a duas retas paralelas ao eixo no plano : constante positiva e constante negativa. Para temos apenas . Para não há curva de nível. - Exemplos numéricos (pegue estes para desenhar contornos):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Interpretação prática: no plano
os contornos são pares de linhas horizontais simétricas em torno de ; conforme desce as linhas se afastam de .
Passo 5
Seções transversais úteis para visualizar (e como desenhá-las):
- Plano
constante (por exemplo ): a superfície intersecta esse plano na curva . Ou seja, no plano vertical aparece uma parábola com vértice em que abre para baixo. Para esboçar: - Marque pontos
usando os exemplos do Passo 4: , , , , , e ligue formando a parábola voltada para baixo.
- Marque pontos
- Plano
constante (por exemplo ): a interseção é uma reta horizontal paralela ao eixo , com altura . Ou seja, cada plano horizontal paralelo a dá uma linha reta — reforça a ideia de cilindro alongado no sentido .
Passo 6
Passo a passo prático para esboçar à mão (num exame, sem computador):
- Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixo
para a direita, eixo saindo/lembre-se de indicar para a frente/direção lateral, e para cima. (Não precisa ser perspectiva perfeita; o importante é mostrar relações entre eixos.)\n - No plano
(um plano vertical que você desenha no centro), desenhe a parábola usando os pontos do Passo 5: vértice em , pontos , , etc. Marque-a bem. Essa será a “geratriz” da superfície.\n - Agora “estique” essa parábola ao longo do eixo
: desenhe cópias da parábola levemente deslocadas para frente e para trás ao longo de (duas ou três cópias bastam) e ligue suavemente — isso dá a ideia do cilindro parabólico.\n - Acrescente algumas linhas de nível horizontais (projeção no plano
): por exemplo trace as linhas e indique a altura correspondente ao lado (10, 9, 6, 1). Isso ajuda quem olha a entender a variação de .\n - Indique simetria em relação ao plano
e que a superfície se estende indefinidamente em (setas nos extremos).
Passo 7
Representação paramétrica e observações finais (úteis para entendimento mais técnico):
- Uma parametrização simples é
com . Aqui representa o eixo (direção de extrusão) e representa . Essa forma mostra claramente que para cada (cada ) a altura é fixa e o parâmetro apenas se desloca ao longo da reta paralela a . - Propriedades que vale anotar: superfície simétrica em relação ao plano
; concavidade no sentido de (abertura para baixo); máximo global de em ; decai quadráticamente com .
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico dado por
: para cada
fixo a seção no plano
é a parábola com vértice em
que abre para baixo, e a superfície é essa parábola extrudada ao longo de todo o eixo
.