4- (1,5 pontos) Esboce o gráfico das funções.
f(x, y)=10-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que seja esboçado o gráfico da função f(x,y)=10-y^{2}.
Informações fornecidas:
  • A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=10-y^{2}.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) a superfície z=f(x,y) no espaço (x,y,z).

Passo 2

Entendimento inicial e propriedade chave (explicada com calma): a expressão z=10-y^{2} depende apenas de y, não depende de x. Isso significa, em palavras simples:
  • Para cada valor fixo de y a altura z é a mesma para todo x.
  • Geometricamente, a superfície é obtida tomando a parábola no plano (y,z) e “esticando” (extrudando) essa curva ao longo de todo o eixo x. O nome técnico para isso é “cilindro parabólico” (parabólico no sentido de que as seções são parábolas).

Passo 3

Determine domínio e imagem (faixa de z) e ponto(s) notáveis:
  • Domínio: todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Valor máximo ocorre em y=0: \,z_{\max}=10. Não existe valor de z maior que 10.
  • Quando |y|\to\infty, tem-se z\to -\infty. Portanto a imagem é \{z\in\mathbb{R}\mid z\le 10\}, ou seja, (-\infty,10].
  • Linha de cume (vértice estendido): todos os pontos com (x,0,10), isto é, a reta \{(x,y,z)\mid y=0,\\ z=10\} para todo x.

Passo 4

Curvas de nível (contornos) — por que são úteis e como obtê-las:
  • Para um nível z=c fixo, a equação é c=10-y^{2}, logo \,y^{2}=10-c.
  • Se c\le 10 então \,y=\pm\sqrt{10-c}; cada nível c corresponde a duas retas paralelas ao eixo x no plano xy: y= constante positiva e y= constante negativa. Para c=10 temos apenas y=0. Para c>10 não há curva de nível.
  • Exemplos numéricos (pegue estes para desenhar contornos):
    • c=10\Rightarrow y=0.
    • c=9\Rightarrow y=\pm1.
    • c=6\Rightarrow y=\pm2.
    • c=1\Rightarrow y=\pm3.
    • c=0\Rightarrow y=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}162.
    • c=-6\Rightarrow y=\pm4.
  • Interpretação prática: no plano xy os contornos são pares de linhas horizontais simétricas em torno de y=0; conforme desce c as linhas se afastam de y=0.

Passo 5

Seções transversais úteis para visualizar (e como desenhá-las):
  • Plano x= constante (por exemplo x=0): a superfície intersecta esse plano na curva \,z=10-y^{2}. Ou seja, no plano vertical (y,z) aparece uma parábola com vértice em (y,z)=(0,10) que abre para baixo. Para esboçar:
    • Marque pontos (y,z) usando os exemplos do Passo 4: (0,10), (\pm1,9), (\pm2,6), (\pm3,1), (\pm\sqrt{10},0), (\pm4,-6) e ligue formando a parábola voltada para baixo.
  • Plano y= constante (por exemplo y=2): a interseção é uma reta horizontal paralela ao eixo x, com altura z=10-y^{2}. Ou seja, cada plano horizontal paralelo a x dá uma linha reta — reforça a ideia de cilindro alongado no sentido x.

Passo 6

Passo a passo prático para esboçar à mão (num exame, sem computador):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixo x para a direita, eixo y saindo/lembre-se de indicar +y para a frente/direção lateral, e z para cima. (Não precisa ser perspectiva perfeita; o importante é mostrar relações entre eixos.)\n
  2. No plano x=0 (um plano vertical que você desenha no centro), desenhe a parábola z=10-y^{2} usando os pontos do Passo 5: vértice em (y,z)=(0,10), pontos (\pm1,9), (\pm2,6), etc. Marque-a bem. Essa será a “geratriz” da superfície.\n
  3. Agora “estique” essa parábola ao longo do eixo x: desenhe cópias da parábola levemente deslocadas para frente e para trás ao longo de x (duas ou três cópias bastam) e ligue suavemente — isso dá a ideia do cilindro parabólico.\n
  4. Acrescente algumas linhas de nível horizontais (projeção no plano xy): por exemplo trace as linhas y=0,\\ y=\pm1,\\ y=\pm2,\\ y=\pm3 e indique a altura z correspondente ao lado (10, 9, 6, 1). Isso ajuda quem olha a entender a variação de z.\n
  5. Indique simetria em relação ao plano y=0 e que a superfície se estende indefinidamente em x (setas nos extremos).

Passo 7

Representação paramétrica e observações finais (úteis para entendimento mais técnico):
  • Uma parametrização simples é (x,y,z)=(u,v,10-v^{2}) com u,v\in\mathbb{R}. Aqui u representa o eixo x (direção de extrusão) e v representa y. Essa forma mostra claramente que para cada v (cada y) a altura é fixa e o parâmetro u apenas se desloca ao longo da reta paralela a x.
  • Propriedades que vale anotar: superfície simétrica em relação ao plano y=0; concavidade no sentido de y (abertura para baixo); máximo global de z em z=10; decai quadráticamente com |y|.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico dado por z=10-y^{2}: para cada x fixo a seção no plano (y,z) é a parábola com vértice em (0,10) que abre para baixo, e a superfície é essa parábola extrudada ao longo de todo o eixo x.

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