3- (1,25 pontos) Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio, ou seja, o conjunto de todos os pares
onde
está bem definida (não dá erro matemático).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há duas expressões com raiz quadrada:
e . - A primeira raiz aparece no denominador da fração
.
Passo 2
Relembrando a ideia básica sobre raiz quadrada:
está definida em
somente quando
. Então, cada raiz impõe uma desigualdade no argumento. Além disso, quando uma raiz aparece no denominador, esse denominador não pode ser zero (divisão por zero é proibida), logo o argumento da raiz, nesse caso, deve ser estritamente positivo.
Passo 3
Aplicando isso à primeira raiz
que está no denominador:
- Condição de existência da raiz:
. - Condição de não anular o denominador: como está no denominador, precisamos de
, ou seja, .
Portanto a primeira condição é
Passo 4
Agora a segunda raiz
(que está fora do denominador) exige apenas que o argumento seja não negativo:
Passo 5
Devemos satisfazer simultaneamente ambas as condições. Assim o domínio consiste nos pontos
que verificam
Interpretação geométrica rápida (para intuição): a condição
é “estar estritamente à direita” da parábola
, e
é “estar à direita ou sobre” da reta
. O domínio é a interseção dessas duas regiões. Note que, quando as duas curvas se cruzam (solução de
), a condição estrita da parábola impede incluir o ponto exato de interseção; em outros pontos da reta que ficam mais à direita que a parábola, a igualdade
pode ser permitida porque satisfaz
.