4- (1,5 pontos) Esboce o gráfico das funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é dada por
. - Precisa-se do esboço do gráfico (ou seja, a superfície em
definida por essa função).
Passo 2
Entender o que significa “gráfico” de uma função de duas variáveis.
O gráfico de é o conjunto de pontos
em
tais que
O gráfico de
Portanto aqui o gráfico é a superfície definida por
Isso é uma superfície plana (um plano) em
. Vamos transformar a equação para a forma padrão de um plano, somando
e
aos dois lados:
Passo 3
Encontrar o vetor normal e interpretar inclinações.
- A forma
mostra que um vetor normal ao plano é
- As derivadas parciais dão as inclinações nas direções
e :
Isso significa, na prática, que se eu avanço uma unidade em
mantendo
fixo,
diminui
unidades; se avanço uma unidade em
mantendo
fixo,
diminui
unidades. Isso ajuda a visualizar a inclinação do plano.
Passo 4
Calcular interceptos com os eixos — pontos fáceis de localizar para desenhar.
- Interseção com o eixo
(pôr e ):
- Interseção com o plano
e com para achar intercepto em -eixo: pôr e
- Interseção com o plano
e com para achar intercepto em -eixo: pôr e
Esses três pontos
,
e
pertencem ao plano e são excelentes referências para esboçar.
Passo 5
Descrever curvas de nível (ajuda muito no esboço).
As curvas de nível são dadas por , ou seja
As curvas de nível são dadas por
Para cada constante
isso é uma reta no plano
. Exemplos úteis:
- Para
: — reta cujo interceptos são e (corresponde à interseção do plano com ). - Para
: — reta passando pela origem no plano .
As retas são paralelas entre si; variandodesloca-se a reta no plano . Isso mostra que as seções horizontais do plano são retas paralelas, confirmando que a superfície é plana.
Passo 6
Como esboçar o plano passo a passo (sem régua, só à mão):
- Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixo
apontando para a direita, eixo para dentro/esquerda (ou para cima-diagonal dependendo do estilo) e eixo para cima. - Marque e rotule os pontos interceptos que calculamos:
no eixo , no eixo , e no eixo . - Una esses três pontos formando um triângulo — esse triângulo é a seção do plano com os planos coordenados e já dá a orientação do plano.
- Estenda essa pequena face triangular para formar uma superfície plana: desenhe retas paralelas à aresta do triângulo para indicar que o triângulo faz parte de um plano infinito.
- Opcional: desenhe algumas retas de nível projetadas no plano
(por exemplo as retas e ) e projete-as para cima até o plano para mostrar como as seções horizontais são paralelas.
Passo 7
Verificação rápida de pontos e consistência (para a prova, é garantia de que não errou contas):
- Verificar
: OK. - Verificar
: OK. - Verificar
: OK.
Passo 8
Resumo intuitivo e dica de prova:
- O gráfico é um plano inclinado que corta o eixo
em e corta os eixos e em e , respectivamente. - Use os interceptos e o vetor normal
para orientá-lo; as derivadas parciais e dão as inclinações nas direções e . - Para esboçar rápido na prova: marque os três interceptos, una e estenda — isso já resulta num esboço aceitável.
Resposta
Plano:
.
Interceptos: ,
,
.
Interceptos: