4- (1,5 pontos) Esboce o gráfico das funções.
f(x, y)=6-2 x-3 y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=6-2x-3y.
Informações dadas:
  • A função é dada por f(x,y)=6-2x-3y.
  • Precisa-se do esboço do gráfico (ou seja, a superfície em \mathbb{R}^3 definida por essa função).

Passo 2

Entender o que significa “gráfico” de uma função de duas variáveis.
O gráfico de f(x,y) é o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que
z = f(x,y).
Portanto aqui o gráfico é a superfície definida por
z = 6 - 2x - 3y.
Isso é uma superfície plana (um plano) em \mathbb{R}^3. Vamos transformar a equação para a forma padrão de um plano, somando 2x e 3y aos dois lados:
2x + 3y + z = 6.

Passo 3

Encontrar o vetor normal e interpretar inclinações.
  • A forma 2x+3y+z=6 mostra que um vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = (2,3,1).
  • As derivadas parciais dão as inclinações nas direções x e y:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -3.
Isso significa, na prática, que se eu avanço uma unidade em x mantendo y fixo, z diminui 2 unidades; se avanço uma unidade em y mantendo x fixo, z diminui 3 unidades. Isso ajuda a visualizar a inclinação do plano.

Passo 4

Calcular interceptos com os eixos — pontos fáceis de localizar para desenhar.
  • Interseção com o eixo z (pôr x=0 e y=0):
z = 6-2\cdot0-3\cdot0 = 6 \quad\Rightarrow\quad (0,0,6).
  • Interseção com o plano y=0 e com z=0 para achar intercepto em x-eixo: pôr y=0 e z=0
0 = 6 - 2x \quad\Rightarrow\quad x = 3 \quad\Rightarrow\quad (3,0,0).
  • Interseção com o plano x=0 e com z=0 para achar intercepto em y-eixo: pôr x=0 e z=0
0 = 6 - 3y \quad\Rightarrow\quad y = 2 \quad\Rightarrow\quad (0,2,0).
Esses três pontos (0,0,6), (3,0,0) e (0,2,0) pertencem ao plano e são excelentes referências para esboçar.

Passo 5

Descrever curvas de nível (ajuda muito no esboço).
As curvas de nível são dadas por f(x,y)=c, ou seja
6-2x-3y = c \quad\Leftrightarrow\quad 2x+3y = 6-c.
Para cada constante c isso é uma reta no plano xy. Exemplos úteis:
  • Para c=0: 2x+3y=6 — reta cujo interceptos são x=3 e y=2 (corresponde à interseção do plano com z=0).
  • Para c=6: 2x+3y=0 — reta passando pela origem no plano xy.
    As retas são paralelas entre si; variando c desloca-se a reta no plano xy. Isso mostra que as seções horizontais do plano são retas paralelas, confirmando que a superfície é plana.

Passo 6

Como esboçar o plano passo a passo (sem régua, só à mão):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixo x apontando para a direita, eixo y para dentro/esquerda (ou para cima-diagonal dependendo do estilo) e eixo z para cima.
  2. Marque e rotule os pontos interceptos que calculamos: (3,0,0) no eixo x, (0,2,0) no eixo y, e (0,0,6) no eixo z.
  3. Una esses três pontos formando um triângulo — esse triângulo é a seção do plano com os planos coordenados e já dá a orientação do plano.
  4. Estenda essa pequena face triangular para formar uma superfície plana: desenhe retas paralelas à aresta do triângulo para indicar que o triângulo faz parte de um plano infinito.
  5. Opcional: desenhe algumas retas de nível projetadas no plano xy (por exemplo as retas 2x+3y=6 e 2x+3y=4) e projete-as para cima até o plano para mostrar como as seções horizontais são paralelas.

Passo 7

Verificação rápida de pontos e consistência (para a prova, é garantia de que não errou contas):
  • Verificar (3,0,0): 6-2\cdot3-3\cdot0=6-6=0 OK.
  • Verificar (0,2,0): 6-0-3\cdot2=6-6=0 OK.
  • Verificar (0,0,6): 6-0-0=6 OK.

Passo 8

Resumo intuitivo e dica de prova:
  • O gráfico é um plano inclinado que corta o eixo z em 6 e corta os eixos x e y em 3 e 2, respectivamente.
  • Use os interceptos e o vetor normal \mathbf{n}=(2,3,1) para orientá-lo; as derivadas parciais \partial f/\partial x=-2 e \partial f/\partial y=-3 dão as inclinações nas direções x e y.
  • Para esboçar rápido na prova: marque os três interceptos, una e estenda — isso já resulta num esboço aceitável.

Resposta

Plano: z=6-2x-3y.
Interceptos: (0,0,6), (3,0,0), (0,2,0).

Exercícios relacionados