S e os pontos A(a, - 2), B(b, 3) e C(-3,0) estão alinhados, o valor de 3a + 2b é:
a) 15
b) -3
c) 3
d) -15
e) 13
a) 15
b) -3
c) 3
d) -15
e) 13
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre pontos alinhados no plano cartesiano. Temos três pontos: A(a, -2), B(b, 3) e C(-3, 0). A pergunta quer saber o valor de
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de colinearidade, que acontece quando três pontos estão na mesma linha reta. Quando pontos estão alinhados, a inclinação entre qualquer par de pontos é a mesma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que três pontos estão alinhados. Se A, B e C estão na mesma linha, a inclinação (coeficiente angular) entre A e B deve ser igual à inclinação entre B e C. A fórmula da inclinação entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Passo 3
Vamos calcular a inclinação entre A e B. Usando as coordenadas de A(a, -2) e B(b, 3):
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação entre B e C. Usando as coordenadas de B(b, 3) e C(-3, 0):
Passo 5
Como os pontos estão alinhados, as inclinações devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre a e b.
Passo 6
Vamos fazer o produto cruzado para eliminar as frações:
Expandindo ambos os lados:
Passo 7
Vamos isolar os termos com a e b. Subtraia 3b de ambos os lados:
Agora, multiplique ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 8
Queremos encontrar
. Vamos somar
aos dois lados da equação:
Resposta
O valor de
é -15, que corresponde à opção d) -15.