S e os pontos A(a, - 2), B(b, 3) e C(-3,0) estão alinhados, o valor de 3a + 2b é:
a) 15
b) -3
c) 3
d) -15
e) 13​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre pontos alinhados no plano cartesiano. Temos três pontos: A(a, -2), B(b, 3) e C(-3, 0). A pergunta quer saber o valor de 3a + 2b. Para resolver isso, vamos usar o conceito de colinearidade, que acontece quando três pontos estão na mesma linha reta. Quando pontos estão alinhados, a inclinação entre qualquer par de pontos é a mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que três pontos estão alinhados. Se A, B e C estão na mesma linha, a inclinação (coeficiente angular) entre A e B deve ser igual à inclinação entre B e C. A fórmula da inclinação entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)

Passo 3

Vamos calcular a inclinação entre A e B. Usando as coordenadas de A(a, -2) e B(b, 3):
mAB = 3 - (-2)b - a = 5b - a

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação entre B e C. Usando as coordenadas de B(b, 3) e C(-3, 0):
mBC = 0 - 3-3 - b = -3-3 - b = 33 + b

Passo 5

Como os pontos estão alinhados, as inclinações devem ser iguais:
5b - a = 33 + b
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre a e b.

Passo 6

Vamos fazer o produto cruzado para eliminar as frações:
5(3 + b) = 3(b - a)
Expandindo ambos os lados:
15 + 5b = 3b - 3a

Passo 7

Vamos isolar os termos com a e b. Subtraia 3b de ambos os lados:
15 + 2b = -3a
Agora, multiplique ambos os lados por -1 para facilitar:
-15 - 2b = 3a

Passo 8

Queremos encontrar 3a + 2b. Vamos somar 2b aos dois lados da equação:
-15 = 3a + 2b

Resposta

O valor de 3a + 2b é -15, que corresponde à opção d) -15.

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