1. (2,5 pontos) Em um guia retangular preenchido com ar a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{10} é 3 GHz , enquanto que a do modo \mathrm{TE}_{01} é 12 GHz . Sabendo-se que o guia é excitado com a frequência de 15 GHz , encontre:
b) a constante de propagação do modo \mathrm{TE}_{10},

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dado: a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{10} é \,f_{c,10}=3\\ \text{GHz}\,.
  • Dado: a frequência de excitação é \,f=15\\ \text{GHz}\,.
  • Informação adicional (não usada diretamente na conta, mas registrada): \mathrm{TE}_{01} tem f_{c,01}=12\\ \text{GHz}.
  • Pedido: encontrar a constante de propagação do modo \mathrm{TE}_{10} para a frequência de excitação \,f=15\\ \text{GHz}.
Observação útil já aqui: como \,f>f_{c,10}\,, o modo \mathrm{TE}_{10} é propagante (logo a constante de propagação será real).

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar — explicadinhos devagar.
  • A constante de propagação axial (no sentido de propagação do guia) chama-se \beta. Para um modo propagante num guia de onda homogêneo vale a relação
\beta=\sqrt{k^{2}-k_{c}^{2}}.
Expliquei: \,k é o número de onda no meio livre preenchendo o guia e \,k_{c} é o número de onda de corte do modo (relacionado à frequência de corte).
  • As definições de k e k_{c} são
k=\frac{2\pi f}{c},\qquad k_{c}=\frac{2\pi f_{c}}{c},
onde:
  • \,f é a frequência de operação (em Hz),
  • \,f_{c} é a frequência de corte do modo (em Hz),
  • \,c é a velocidade da luz no vácuo; para ar usamos \,c\approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s}\,.
  • Unidade: \beta tem unidade de radianos por metro (rad/m).

Passo 3

Calcular k e k_{c} passo a passo usando os números dados.
  • Converter frequências para Hz: \,f=15\\ \text{GHz}=15\times10^{9}\\ \text{Hz} e \,f_{c,10}=3\\ \text{GHz}=3\times10^{9}\\ \text{Hz}.
  • Calcular k:
k=\frac{2\pi f}{c}=\frac{2\pi\cdot15\times10^{9}}{3\times10^{8}}=2\pi\cdot\frac{15}{0,3}=2\pi\cdot50=100\pi\\ \text{rad/m}.
(Detalhe da conta: 15\times10^{9}\div 3\times10^{8}=50.)
  • Calcular k_{c}:
k_{c}=\frac{2\pi f_{c,10}}{c}=\frac{2\pi\cdot3\times10^{9}}{3\times10^{8}}=2\pi\cdot10=20\pi\\ \text{rad/m}.
(Detalhe: 3\times10^{9}\div 3\times10^{8}=10.)

Passo 4

Calcular \beta substituindo em \beta=\sqrt{k^{2}-k_{c}^{2}}, mostrando fatoração para simplificar e obter forma fechada.
  • Substituindo k=100\pi e k_{c}=20\pi:
\beta=\sqrt{(100\pi)^{2}-(20\pi)^{2}}=\sqrt{\pi^{2}\big(100^{2}-20^{2}\big)}=\pi\sqrt{10000-400}.
  • Simplificar o radical:
10000-400=9600,
\sqrt{9600}=\sqrt{96\cdot100}=10\sqrt{96}=10\cdot4\sqrt{6}=40\sqrt{6}.
  • Logo uma forma exata:
\beta=\pi\cdot 40\sqrt{6}=40\pi\sqrt{6}\\ \text{rad/m}.

Passo 5

Avaliar numericamente (passo a passo) para dar um valor prático.
  • Primeiro \sqrt{6}\approx2{,}449489743.
  • Então 40\sqrt{6}\approx40\cdot2{,}449489743\approx97{,}9795897.
  • Multiplicando por \pi:
\beta\approx\pi\cdot97{,}9795897\approx307{,}876\\ \text{rad/m}.
Arredondando a um número prático: \beta\approx307{,}9\\ \text{rad/m}.

Resposta

\beta=40\pi\sqrt{6}\\ \text{rad/m}\approx307{,}9\\ \text{rad/m}

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