1. (2,5 pontos) Em um guia retangular preenchido com ar a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{10} é 3 GHz , enquanto que a do modo \mathrm{TE}_{01} é 12 GHz . Sabendo-se que o guia é excitado com a frequência de 15 GHz , encontre:
a) as dimensões do guia,

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (sem resolver ainda):
  • Frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{10}: \,f_{c,10}=3\\ \text{GHz}.
  • Frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{01}: \,f_{c,01}=12\\ \text{GHz}.
  • O guia retangular está preenchido com ar (logo usamos a velocidade da luz no vácuo/ar).
  • O guia é excitado com \,15\\ \text{GHz} (informação que pode servir para verificar se modos propagam).
    O que se pede na letra (a): encontrar as dimensões do guia retangular — ou seja, as medidas a (lado maior, normalmente associado ao índice m) e b (lado menor, associado ao índice n).

Passo 2

Fórmula da frequência de corte para modos \mathrm{TE}_{mn} em um guia retangular (ar):
f_{c,mn}=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n}{b}\right)^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • f_{c,mn} é a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{mn}.
  • c é a velocidade da luz no ar (aproximamos por c=3\cdot10^{8}\\ \text{m/s}).
  • m,n são inteiros não-negativos que identificam o modo (por exemplo, para \mathrm{TE}_{10} temos m=1,n=0; para \mathrm{TE}_{01} temos m=0,n=1).
  • a e b são as dimensões internas do guia (em metros).
    Essa fórmula vem da condição de que a componente transversal do campo satisfaça contornos com modos transversais quantizados; aqui vamos usá-la diretamente para encontrar a e b.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao modo \mathrm{TE}_{10} (onde m=1,n=0):
f_{c,10}=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+0}=\frac{c}{2}\cdot\frac{1}{a}=\frac{c}{2a}.
Despejando a:
a=\frac{c}{2f_{c,10}}.
Agora substituindo os valores numéricos (usando c=3\cdot10^{8}\\ \text{m/s} e f_{c,10}=3\cdot10^{9}\\ \text{Hz}):
a=\frac{3\cdot10^{8}}{2\cdot3\cdot10^{9}}=\frac{3\cdot10^{8}}{6\cdot10^{9}}=\frac{1}{20}=0,05\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros:
a=0,05\\ \text{m}=5\\ \text{cm}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao modo \mathrm{TE}_{01} (onde m=0,n=1):
f_{c,01}=\frac{c}{2}\sqrt{0+\left(\frac{1}{b}\right)^{2}}=\frac{c}{2b}.
Despejando b:
b=\frac{c}{2f_{c,01}}.
Substituindo c=3\cdot10^{8}\\ \text{m/s} e f_{c,01}=12\cdot10^{9}\\ \text{Hz}:
b=\frac{3\cdot10^{8}}{2\cdot12\cdot10^{9}}=\frac{3\cdot10^{8}}{24\cdot10^{9}}=\frac{1}{80}=0,0125\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros:
b=0,0125\\ \text{m}=1,25\\ \text{cm}.

Passo 5

Comentário prático (para a prova): como a excitação é a 15\\ \text{GHz}, vale verificar se esses modos realmente propagam:
  • Para \mathrm{TE}_{10}: f=15\\ \text{GHz}>f_{c,10}=3\\ \text{GHz} → propaga.
  • Para \mathrm{TE}_{01}: f=15\\ \text{GHz}>f_{c,01}=12\\ \text{GHz} → também propaga.
    O modo dominante (com menor corte) é \mathrm{TE}_{10} (é o que aparece primeiro ao subir em frequência).

Resposta

a=0,05\\ \text{m}=5\\ \text{cm}
b=0,0125\\ \text{m}=1,25\\ \text{cm}

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