1. Urna linha de transmissāo sem perdas operando em 20 MHz possui uma impedância característica de 60 \Omega. A linha possui um comprimento de 10 m e sua impedância de entrada tem o valor de 90+i 150 \Omega. Determine a) Z_{L}, b) r_{L} e c) s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • frequência: \,f=20\\ \text{MHz}\,.
    • impedância característica: \,Z_0=60\\ \Omega\,.
    • comprimento da linha: \,l=10\\ \text{m}\,.
    • impedância de entrada: \,Z_{\text{in}}=90 + i\,150\\ \Omega\,.
    • a linha é sem perdas (logo a impedância característica é real e o coeficiente de propagação é puramente imaginário).
  • O enunciado pede:
    a) determinar \,Z_{L} (impedância do receptor na extremidade da linha),
    b) determinar \,r_{L} (o coeficiente de reflexão na carga, isto é \Gamma_{L}),
    c) determinar \,s (a razão de onda estacionária — SWR, também chamada de ROE).
  • Observação importante: falta no enunciado a velocidade de propagação na linha. Vou adotar a hipótese usual em problemas quando não é dada: velocidade de propagação igual à velocidade da luz no vácuo, \,v=c=3{,}0\times10^{8}\\ \text{m/s}. Se a linha tiver um velocímetro diferente (por ex. fator de velocidade), os valores angulares mudariam; o procedimento permanece o mesmo.

Passo 2

Entender a teoria necessária — fórmula de transformação de impedância em linha sem perdas e conceitos usados.
  • Para uma linha sem perdas o coeficiente de propagação é \,\gamma = i\beta\,, com \,\beta=2\pi/\lambda\, e \,\lambda=v/f.
  • A relação entre impedância de entrada na distância l da carga e a impedância da carga é:
Z_{\text{in}} = Z_0 \,\frac{Z_L + i Z_0 \tan(\beta l)}{Z_0 + i Z_L \tan(\beta l)}.
Explicando cada termo:
  • \,Z_{\text{in}}\, é a impedância medida na extremidade oposta à carga (onde foi dada).
  • \,Z_0\, é a impedância característica real (aqui 60\\ \Omega).
  • \,Z_L\, é a impedância na carga (o que queremos).
  • \,\beta l\, é a “distância elétrica” (ângulo em radianos) que corresponde ao comprimento físico l.
  • \tan(\beta l) aparece porque a fórmula provém da solução das equações da linha (seno/cosseno transformam tensões e correntes).
  • O coeficiente de reflexão na carga é:
\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}.
  • A razão de onda estacionária (SWR) em termos do módulo de \Gamma_L é:
S = \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|}.

Passo 3

Calcular a quantidade \beta l (precisa do comprimento de onda). Usando a hipótese v=c:
  • Comprimento de onda:
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3{,}0\times10^{8}}{20\times10^{6}} = 15\\ \text{m}.
  • Portanto a fração de comprimento:
\frac{l}{\lambda} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.
  • E o ângulo elétrico:
\beta l = 2\pi\frac{l}{\lambda} = 2\pi\cdot\frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}\\ \text{rad}.
  • Calculamos a tangente:
\tan\!\left(\beta l\right)=\tan\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).
Como \tan(\pi+\theta)=\tan\theta e \tan(\pi/3)=\sqrt{3}, segue
\tan\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\approx 1{,}7320508.
Vou chamar esse valor de \,x=\tan(\beta l)=\sqrt{3}.

Passo 4

Isolar \,Z_L na fórmula de transformação e escrever a expressão que usaremos para calcular numericamente.
Partimos de
Z_{\text{in}} = Z_0 \,\frac{Z_L + i Z_0 x}{Z_0 + i Z_L x}.
Multiplicando ambos os lados por \,Z_0 + i Z_L x e isolando Z_L obtemos (passo algébrico padrão):
Z_L \bigl(i Z_{\text{in}} x - Z_0\bigr) = Z_0\bigl(i Z_0 x - Z_{\text{in}}\bigr).
Logo
Z_L = Z_0\,\frac{i Z_0 x - Z_{\text{in}}}{i Z_{\text{in}} x - Z_0}.
Nós já sabemos os valores numéricos: \,Z_0=60, \,Z_{\text{in}}=90 + i\,150, \,x=\sqrt{3}. Agora substituímos e calculamos passo a passo.

Passo 5

Calcular numericamente \,Z_L (passo a passo aritmético detalhado).
  • Primeiro calcule i Z_0 x:
i Z_0 x = i\cdot 60 \cdot 1{,}7320508 \approx i\,103{,}92305.
  • Agora o numerador da fração:
\text{num} = Z_0\bigl(i Z_0 x - Z_{\text{in}}\bigr) =60\bigl(i\,103{,}92305 - (90 + i\,150)\bigr).
Dentro do parêntese:
i\,103{,}92305 - (90 + i\,150) = -90 + i(103{,}92305 - 150) = -90 - i\,46{,}07695.
Multiplicando por 60:
\text{num} = -5400 - i\,2764{,}617.
  • Agora o denominador:
\text{den} = i Z_{\text{in}} x - Z_0.
Primeiro calcule i Z_{\text{in}} = i(90 + i\,150) = -150 + i\,90 (porque i^2=-1).
Multiplicando por x:
i Z_{\text{in}} x = (-150 + i\,90)\cdot 1{,}7320508 \approx -259{,}8076 + i\,155{,}8846.
Subtraindo Z_0:
\text{den} = -259{,}8076 - 60 + i\,155{,}8846 = -319{,}8076 + i\,155{,}8846.
  • Agora calculamos a divisão complexa
Z_L = \frac{\text{num}}{\text{den}} = \frac{-5400 - i\,2764{,}617}{-319{,}8076 + i\,155{,}8846}.
Fazendo a multiplicação pelo conjugado do denominador e dividindo pelo seu módulo ao quadrado (a operação padrão de divisão complexa), os cálculos numéricos levam a:
Z_L \approx 10{,}239 + i\,13{,}636\\ \Omega.
(Fiz os produtos e divisões com os passos aritméticos mostrados e checados; o valor arredondado a três casas significativas na parte real e imaginária é esse.)

Passo 6

Interpretando e checando: o valor obtido para \,Z_L é razoável (um pouco menor que \,Z_0, com componente reativa indutiva se a parte imaginária for positiva). Agora calculamos o coeficiente de reflexão na carga \Gamma_L.
  • Fórmula:
\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}.
Substituindo Z_L\approx 10{,}239 + i\,13{,}636 e Z_0=60:
Z_L - Z_0 \approx -49{,}761 + i\,13{,}636, \qquad Z_L + Z_0 \approx 70{,}239 + i\,13{,}636.
  • Dividindo (novamente fazendo multiplicação pelo conjugado e dividindo pelo módulo ao quadrado) obtemos em forma retangular:
\Gamma_L \approx -0{,}6469 + i\,0{,}3196.
  • Módulo e fase:
|\Gamma_L| \approx \sqrt{(-0{,}6469)^2 + (0{,}3196)^2} \approx 0{,}722,
\angle \Gamma_L \approx \operatorname{atan2}(0{,}3196,\,-0{,}6469)\approx 153{,}7^\circ\\ (\approx 2{,}682\\ \text{rad}).

Passo 7

Calcular a razão de onda estacionária S (SWR) a partir do módulo de \Gamma_L.
  • Fórmula:
S = \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|}.
Substituindo |\Gamma_L|\approx 0{,}722:
S \approx \frac{1 + 0{,}722}{1 - 0{,}722} = \frac{1{,}722}{0{,}278} \approx 6{,}19.

Resposta

a) Z_{L}\approx 10{,}239 + i\,13{,}636\\ \Omega
b) r_{L}=\Gamma_{L}\approx -0{,}6469 + i\,0{,}3196 (módulo |\Gamma_{L}|\approx 0{,}722, fase \approx153{,}7^\circ)
c) s = \text{SWR}\approx 6{,}19

Exercícios relacionados