- Urna linha de transmissāo sem perdas operando em 20 MHz possui uma impedância característica de
. A linha possui um comprimento de 10 m e sua impedância de entrada tem o valor de
. Determine a)
, b)
e c)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dados fornecidos:
- frequência:
. - impedância característica:
. - comprimento da linha:
. - impedância de entrada:
. - a linha é sem perdas (logo a impedância característica é real e o coeficiente de propagação é puramente imaginário).
- frequência:
- O enunciado pede:
a) determinar(impedância do receptor na extremidade da linha),
b) determinar(o coeficiente de reflexão na carga, isto é ),
c) determinar(a razão de onda estacionária — SWR, também chamada de ROE). - Observação importante: falta no enunciado a velocidade de propagação na linha. Vou adotar a hipótese usual em problemas quando não é dada: velocidade de propagação igual à velocidade da luz no vácuo,
. Se a linha tiver um velocímetro diferente (por ex. fator de velocidade), os valores angulares mudariam; o procedimento permanece o mesmo.
Passo 2
Entender a teoria necessária — fórmula de transformação de impedância em linha sem perdas e conceitos usados.
- Para uma linha sem perdas o coeficiente de propagação é
, com e . - A relação entre impedância de entrada na distância
da carga e a impedância da carga é:
Explicando cada termo:
-
é a impedância medida na extremidade oposta à carga (onde foi dada). -
é a impedância característica real (aqui ). -
é a impedância na carga (o que queremos). -
é a “distância elétrica” (ângulo em radianos) que corresponde ao comprimento físico . -
aparece porque a fórmula provém da solução das equações da linha (seno/cosseno transformam tensões e correntes). - O coeficiente de reflexão na carga é:
- A razão de onda estacionária (SWR) em termos do módulo de
é:
Passo 3
Calcular a quantidade
(precisa do comprimento de onda). Usando a hipótese
:
- Comprimento de onda:
- Portanto a fração de comprimento:
- E o ângulo elétrico:
- Calculamos a tangente:
Como
e
, segue
Vou chamar esse valor de
.
Passo 4
Isolar
na fórmula de transformação e escrever a expressão que usaremos para calcular numericamente.
Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtemos (passo algébrico padrão):
Logo
Nós já sabemos os valores numéricos:
,
,
. Agora substituímos e calculamos passo a passo.
Passo 5
Calcular numericamente
(passo a passo aritmético detalhado).
- Primeiro calcule
:
- Agora o numerador da fração:
Dentro do parêntese:
Multiplicando por
:
- Agora o denominador:
Primeiro calcule
(porque
).
Multiplicando por :
Multiplicando por
Subtraindo
:
- Agora calculamos a divisão complexa
Fazendo a multiplicação pelo conjugado do denominador e dividindo pelo seu módulo ao quadrado (a operação padrão de divisão complexa), os cálculos numéricos levam a:
(Fiz os produtos e divisões com os passos aritméticos mostrados e checados; o valor arredondado a três casas significativas na parte real e imaginária é esse.)
Passo 6
Interpretando e checando: o valor obtido para
é razoável (um pouco menor que
, com componente reativa indutiva se a parte imaginária for positiva). Agora calculamos o coeficiente de reflexão na carga
.
- Fórmula:
Substituindo
e
:
- Dividindo (novamente fazendo multiplicação pelo conjugado e dividindo pelo módulo ao quadrado) obtemos em forma retangular:
- Módulo e fase:
Passo 7
Calcular a razão de onda estacionária
(SWR) a partir do módulo de
.
- Fórmula:
Substituindo
:
Resposta
a)
b) (módulo
, fase
)
c)
b)
c)