1. (2,5 pontos) Em um guia retangular preenchido com ar a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{10} é 3 GHz , enquanto que a do modo \mathrm{TE}_{01} é 12 GHz . Sabendo-se que o guia é excitado com a frequência de 15 GHz , encontre:
c) A impedância intrínseca do modo \mathrm{TE}_{01},

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{10} é \,f_{c,10}=3\\ \text{GHz}\,.
  • Dado: a frequência de corte do modo \mathrm{TE}_{01} é \,f_{c,01}=12\\ \text{GHz}\,.
  • Dado: o guia é excitado com a frequência \,f=15\\ \text{GHz}\,.
  • Pede: a impedância intrínseca (impedância de modo) do modo \mathrm{TE}_{01} na frequência \,f=15\\ \text{GHz}\,.
Observação que vamos usar: o guia está preenchido com ar (aproximamos como vácuo), portanto a impedância característica do meio é \eta_0\approx377\\ \Omega.

Passo 2

Entendendo o que é a “impedância intrínseca do modo” e a fórmula que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  • Intuição: em um guia de onda o campo não é um plano viajante livre; a relação entre os campos elétrico e magnético transversos para um modo guia difere da impedância do espaço livre. Para modos \mathrm{TE} a razão entre o campo elétrico transversal e o campo magnético transversal (a impedância de modo) vale
Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\omega\mu}{\beta},
onde:
  • \omega=2\pi f é a frequência angular;
  • \mu é a permeabilidade do meio (para ar/vácuo \mu=\mu_0);
  • \beta é a constante de propagação ao longo do guia (número de onda guiado).
  • Relacionando com grandezas conhecidas: a impedância do meio é \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\epsilon}} e o número de onda no meio é k=\omega\sqrt{\mu\epsilon}. Da expressão acima podemos escrever
Z_{\mathrm{TE}}=\eta\frac{k}{\beta}.
  • Para um modo propagante em guia temos
\beta = k\sqrt{1-\left(\dfrac{f_c}{f}\right)^2},
onde f_c é a frequência de corte do modo considerado. Substituindo em Z_{\mathrm{TE}} obtemos a fórmula prática e muito usada:
Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-\left(\dfrac{f_c}{f}\right)^2}}.
Aqui:
  • \eta é a impedância do meio (para ar \eta=\eta_0\approx377\\ \Omega);
  • f_c é a frequência de corte do modo em análise;
  • f é a frequência de operação (de excitação).
Observação didática: essa fórmula mostra que, para \mathrm{TE}, a impedância de modo é maior que \eta e cresce à medida que f se aproxima de f_c (porque o denominador diminui).

Passo 3

Aplicando a fórmula para o modo \mathrm{TE}_{01}.
  • Usamos \,f_c=f_{c,01}=12\\ \text{GHz}\, e \,f=15\\ \text{GHz}\,.
  • A impedância do meio \eta=\eta_0\approx377\\ \Omega.
Calculemos primeiro o fator dentro da raiz:
1-\left(\dfrac{f_c}{f}\right)^2 = 1-\left(\dfrac{12}{15}\right)^2.

Passo 4

Fazendo as contas passo a passo:
  • \dfrac{12}{15}=0{,}8.
  • \left(0{,}8\right)^2=0{,}64.
  • 1-0{,}64=0{,}36.
  • \sqrt{0{,}36}=0{,}6.
Agora a impedância:
Z_{\mathrm{TE}_{01}}=\frac{\eta_0}{0{,}6}=\frac{377\\ \Omega}{0{,}6}.
Calculando:
\frac{377}{0{,}6}\approx628{,}333\\ \Omega.
Arredondando com sensatez para três algarismos significativos:
Z_{\mathrm{TE}_{01}}\approx628{,}3\\ \Omega.
Comentário rápido e motivador: repare que essa impedância é maior que \eta_0. Isso é esperado para modos \mathrm{TE}; conforme a frequência se aproxima de f_c o valor tende a aumentar muito (tende ao infinito em f\to f_c^+). Você está indo bem — esse tipo de conta cai direto numa prova se você lembrar da fórmula e fizer as operações com calma.

Resposta

Z_{\mathrm{TE}_{01}}\approx628{,}3\\ \Omega

Exercícios relacionados