Os pontos \mathrm{A}(2,-1) e \mathrm{B}(-1,4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.

Passo 1

O enunciado dá os pontos \mathrm{A}(2,-1) e \mathrm{B}(-1,4) e pede para calcular os outros dois vértices de um quadrado que tem \mathrm{A} e \mathrm{B} como vértices consecutivos, usando a matriz-rotação. Informações relevantes fornecidas:
\mathrm{A}=(2,-1),
\mathrm{B}=(-1,4).
O que precisamos encontrar: os dois vértices restantes (vou chamar de \mathrm{C} e \mathrm{D}), sabendo que \mathrm{A} e \mathrm{B} são vizinhos no quadrado.

Passo 2

Primeira ideia concreta (sem mistério): o lado do quadrado é o vetor que vai de \mathrm{A} para \mathrm{B}. Vamos calcular esse vetor.
Seja \mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=\mathrm{B}-\mathrm{A}. Subtração de coordenadas é componente a componente, portanto:
\mathbf{v} = (-1-2,\;4-(-1)) = (-3,\;5).
Interpretação: \mathbf{v}=(-3,5) é um vetor que, a partir de \mathrm{A}, chega em \mathrm{B}.

Passo 3

Agora a ideia da matriz-rotação: para obter o próximo vértice \mathrm{C} depois de \mathrm{B}, pegamos o vetor \mathbf{v}=\overrightarrow{AB} e o rotacionamos em 90^\circ. Há duas rotações possíveis de 90^\circ: no sentido anti-horário (ccw) e no sentido horário (cw). Cada uma dá um quadrado “virado” para um lado diferente. As matrizes são:
rotacionar +90^\circ (anti-horário):
R_{+90} = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
que aplica (x,y)\mapsto(-y,x).
rotacionar -90^\circ (horário):
R_{-90} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},
que aplica (x,y)\mapsto(y,-x).
Explicação curta: multiplicar pela matriz faz a transformação linear que gira o vetor 90^\circ mantendo o comprimento.]

Passo 4

Vamos rotacionar \mathbf{v}=(-3,5) +90^\circ (anti-horário) usando R_{+90}. Multiplicação matriz-vetor:
R_{+90}\mathbf{v}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3\\[4pt] 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot(-3)+(-1)\cdot 5\\[4pt] 1\cdot(-3)+0\cdot 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt] -3\end{pmatrix}.
Chamemos esse vetor rotacionado de \mathbf{w}_{+} = (-5,-3).]

Passo 5

A partir daí, os outros dois vértices do quadrado (no sentido A → B → C → D) são obtidos somando \mathbf{w}_{+} a \mathrm{B} e a \mathrm{A}:
\mathrm{C} = \mathrm{B} + \mathbf{w}_{+} = (-1,4) + (-5,-3) = (-6,1),
\mathrm{D} = \mathrm{A} + \mathbf{w}_{+} = (2,-1) + (-5,-3) = (-3,-4).
Portanto, uma possibilidade para os vértices restantes é \mathrm{C}=(-6,1) e \mathrm{D}=(-3,-4).

Passo 6

Agora a outra possibilidade: rotacionar \mathbf{v}=(-3,5) -90^\circ (horário) com R_{-90}. Fazendo a multiplicação:
R_{-90}\mathbf{v}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3\\[4pt] 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot(-3)+1\cdot 5\\[4pt] -1\cdot(-3)+0\cdot 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Chamemos esse vetor de \mathbf{w}_{-} = (5,3).]

Passo 7

Somando \mathbf{w}_{-} a \mathrm{B} e a \mathrm{A} obtemos a outra solução:
\mathrm{C}' = \mathrm{B} + \mathbf{w}_{-} = (-1,4) + (5,3) = (4,7),
\mathrm{D}' = \mathrm{A} + \mathbf{w}_{-} = (2,-1) + (5,3) = (7,2).
Portanto, a outra possibilidade é \mathrm{C}=(4,7) e \mathrm{D}=(7,2).

Passo 8

Vamos checar rapidamente que isso realmente forma um quadrado (verificação curta e útil na prova): o vetor \mathbf{v}=(-3,5) tem norma ao quadrado
\|\mathbf{v}\|^2 = (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34.
Para \mathbf{w}_{+}=(-5,-3) temos
\|\mathbf{w}_{+}\|^2 = (-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34,
e o produto escalar
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}_{+} = (-3)(-5)+5(-3)=15-15=0,
logo \mathbf{w}_{+} é perpendicular a \mathbf{v} e tem o mesmo comprimento — condição típica de lados adjacentes de um quadrado. Mesma coisa ocorre com \mathbf{w}_{-}. Assim ambas as soluções são válidas.

Resposta

\mathrm{C}(-6,1),\\ \mathrm{D}(-3,-4)
\mathrm{C}(4,7),\\ \mathrm{D}(7,2)

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