Os pontos \mathrm{A}(2,-1) e \mathrm{B}(-1,4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
Passo 1
O enunciado dá os pontos \mathrm{A}(2,-1) e \mathrm{B}(-1,4) e pede para calcular os outros dois vértices de um quadrado que tem \mathrm{A} e \mathrm{B} como vértices consecutivos, usando a matriz-rotação. Informações relevantes fornecidas: \mathrm{A}=(2,-1), \mathrm{B}=(-1,4).
O que precisamos encontrar: os dois vértices restantes (vou chamar de \mathrm{C} e \mathrm{D}), sabendo que \mathrm{A} e \mathrm{B} são vizinhos no quadrado.
Passo 2
Primeira ideia concreta (sem mistério): o lado do quadrado é o vetor que vai de \mathrm{A} para \mathrm{B}. Vamos calcular esse vetor.
Seja \mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=\mathrm{B}-\mathrm{A}. Subtração de coordenadas é componente a componente, portanto:
\mathbf{v} = (-1-2,\;4-(-1)) = (-3,\;5).
Interpretação: \mathbf{v}=(-3,5) é um vetor que, a partir de \mathrm{A}, chega em \mathrm{B}.
Passo 3
Agora a ideia da matriz-rotação: para obter o próximo vértice \mathrm{C} depois de \mathrm{B}, pegamos o vetor \mathbf{v}=\overrightarrow{AB} e o rotacionamos em 90^\circ. Há duas rotações possíveis de 90^\circ: no sentido anti-horário (ccw) e no sentido horário (cw). Cada uma dá um quadrado “virado” para um lado diferente. As matrizes são:
rotacionar +90^\circ (anti-horário):
logo \mathbf{w}_{+} é perpendicular a \mathbf{v} e tem o mesmo comprimento — condição típica de lados adjacentes de um quadrado. Mesma coisa ocorre com \mathbf{w}_{-}. Assim ambas as soluções são válidas.