Consideremos a transformação linear
definida por
as bases
do
do
. Determinar a matriz
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
As bases fornecidas são
e
O que o exercício pede é determinar a matriz
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
e a regra de
:
Passo 2
O plano de ataque (explicação didática do método que vamos usar): para obter a matriz
usamos este fato chave: as colunas da matriz
são as coordenadas, na base
, das imagens
. Em outras palavras, se
então a
-ésima coluna de
é o vetor coluna
. Vou então:
- calcular
na base canônica, - para cada imagem escrever como combinação linear de
e e achar os coeficientes, e - montar a matriz com essas coordenadas como colunas.
Esse método é prático e direto na prova: sempre avalie
nos vetores da base do domínio e passe para a base do contradomínio.]
Passo 3
Calculemos
. Tomando
e aplicando a regra de
:
Portanto
(em coordenadas canônicas de
).
Passo 4
Agora escrevemos
como combinação de
e
. Procuramos
tais que
Como
e
, isso dá o sistema
Igualando coordenadas:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Logo as coordenadas de
na base
são
. Essa será a primeira coluna de
.]
Passo 5
Calculemos
. Tomando
:
Queremos
tais que
Isto é
Da primeira equação
. Da segunda
.
Portanto as coordenadas de
em
são
. Essa será a segunda coluna.]
Passo 6
Calculemos
. Tomando
:
Procuramos
tais que
ou seja
Da primeira equação
. Da segunda
.
Logo as coordenadas de
em
são
. Essa será a terceira coluna.]
Passo 7
Montamos a matriz
usando as colunas obtidas (na ordem
):