Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}, \mathrm{x}+2 \mathrm{y}) \mathrm{e} as bases \mathrm{A}=\{(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1)\} do \mathbb{R}^{3} \mathrm{e} \mathrm{B}=\{(-1,1),(0,1)\} do \mathbb{R}^{2}. Determinar a matriz [\mathrm{T}]_{\mathrm{B}}^{\mathrm{A}}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(2x+y-z,\;x+2y).
As bases fornecidas são
A=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{3}
e
B=\{b_{1},b_{2}\}=\{(-1,1),(0,1)\}\subset\mathbb{R}^{2}.
O que o exercício pede é determinar a matriz [T]_{B}^{A}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
a_{1}=(1,0,0),\quad a_{2}=(2,-1,0),\quad a_{3}=(0,1,1),
b_{1}=(-1,1),\quad b_{2}=(0,1),
e a regra de T: (x,y,z)\mapsto(2x+y-z,\;x+2y).

Passo 2

O plano de ataque (explicação didática do método que vamos usar): para obter a matriz [T]_{B}^{A} usamos este fato chave: as colunas da matriz [T]_{B}^{A} são as coordenadas, na base B, das imagens T(a_{1}),T(a_{2}),T(a_{3}). Em outras palavras, se
T(a_{j})=\alpha_{1j}\,b_{1}+\alpha_{2j}\,b_{2},
então a j-ésima coluna de [T]_{B}^{A} é o vetor coluna \begin{pmatrix}\alpha_{1j}\\[4pt]\alpha_{2j}\end{pmatrix}. Vou então:
  1. calcular T(a_{1}),T(a_{2}),T(a_{3}) na base canônica,
  2. para cada imagem escrever como combinação linear de b_{1} e b_{2} e achar os coeficientes, e
  3. montar a matriz com essas coordenadas como colunas.
Esse método é prático e direto na prova: sempre avalie T nos vetores da base do domínio e passe para a base do contradomínio.]

Passo 3

Calculemos T(a_{1}). Tomando a_{1}=(1,0,0) e aplicando a regra de T:
T(1,0,0)=(2\cdot1+0-0,\;1+2\cdot0)=(2,1).
Portanto T(a_{1})=(2,1) (em coordenadas canônicas de \mathbb{R}^{2}).

Passo 4

Agora escrevemos T(a_{1}) como combinação de b_{1} e b_{2}. Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha\,b_{1}+\beta\,b_{2}=(2,1).
Como b_{1}=(-1,1) e b_{2}=(0,1), isso dá o sistema
(-\alpha,\;\alpha+\beta)=(2,1).
Igualando coordenadas:
-\alpha=2,\qquad \alpha+\beta=1.
Da primeira equação vem \alpha=-2. Substituindo na segunda:
-2+\beta=1\implies \beta=3.
Logo as coordenadas de T(a_{1}) na base B são \begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix}. Essa será a primeira coluna de [T]_{B}^{A}.]

Passo 5

Calculemos T(a_{2}). Tomando a_{2}=(2,-1,0):
T(2,-1,0)=(2\cdot2+(-1)-0,\;2+2(-1))=(4-1,\;2-2)=(3,0).
Queremos \alpha,\beta tais que
\alpha\,b_{1}+\beta\,b_{2}=(3,0).
Isto é
(-\alpha,\;\alpha+\beta)=(3,0).
Da primeira equação -\alpha=3\implies \alpha=-3. Da segunda -3+\beta=0\implies \beta=3.
Portanto as coordenadas de T(a_{2}) em B são \begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\end{pmatrix}. Essa será a segunda coluna.]

Passo 6

Calculemos T(a_{3}). Tomando a_{3}=(0,1,1):
T(0,1,1)=(2\cdot0+1-1,\;0+2\cdot1)=(0,2).
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha\,b_{1}+\beta\,b_{2}=(0,2),
ou seja
(-\alpha,\;\alpha+\beta)=(0,2).
Da primeira equação -\alpha=0\implies \alpha=0. Da segunda 0+\beta=2\implies \beta=2.
Logo as coordenadas de T(a_{3}) em B são \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}. Essa será a terceira coluna.]

Passo 7

Montamos a matriz [T]_{B}^{A} usando as colunas obtidas (na ordem a_{1},a_{2},a_{3}):
[T]_{B}^{A}=\begin{pmatrix} -2 & -3 & 0\\[4pt] \;3 & \;3 & 2 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} -2 & -3 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}]

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