( 3,4 pontos) Misturamos 545,4 \mathrm{~g} de água quente com 443,1 \mathrm{~g} de gelo a 0,0^{\circ} \mathrm{C}. Assumimos que as trocas de calor acontecem somente entre a água e o gelo. Se a temperatura inicial da água quente é 60,0^{\circ} \mathrm{C}, determine a temperatura final da mistura e a massa de gelo remanescente depois de atingido o equilibrio térmico?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados (pegos do enunciado):
    • massa da água quente: m_{\text{água}} = 545{,}4\\ \mathrm{g}á
    • temperatura inicial da água quente: T_{\text{i,água}} = 60{,}0\,^\circ\mathrm{C}á
    • massa do gelo: m_{\text{gelo}} = 443{,}1\\ \mathrm{g}
    • temperatura inicial do gelo: T_{\text{i,gelo}} = 0{,}0\,^\circ\mathrm{C}
    • considera-se que só há troca de calor entre a água e o gelo (sistema isolado externamente)
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual é a temperatura final da mistura, depois do equilíbrio térmico?
    2. Qual é a massa de gelo remanescente depois do equilíbrio térmico?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Quando um corpo muda de temperatura sem mudar de fase, o calor trocado é dado por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa (em gramas), c é o calor específico (em \mathrm{J/(g\,^\circ C)}) e \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}). Aqui Q>0 significa calor absorvido; Q<0 calor cedido.
  • Para mudar de fase (gelo \to água à temperatura de fusão) sem variação de temperatura, o calor necessário é
Q = m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{J/g}) e m é a massa da porção que derrete.
  • Como o enunciado diz que as trocas de calor ocorrem só entre água e gelo, aplicamos conservação de energia: o calor perdido pela água quente será igual ao calor ganho pelo gelo (a menos de sinal). Em termos de magnitudes:
\text{calor cedido pela água} = \text{calor absorvido pelo gelo (para aquecer/derreter)}.á
Valores numéricos que vamos usar (padrão prático):
  • calor específico da água líquida: c = 4{,}18\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)},
  • calor latente de fusão do gelo: L_f = 334\\ \mathrm{J/g}.

Passo 3

Calcular o calor que a água quente pode ceder ao esfriar até 0{,}0\,^\circ\mathrm{C} (primeiro passo: levar a água a 0{,}^\circ\mathrm{C}). Como o gelo já está a 0{,}0\,^\circ\mathrm{C}, não precisamos aquecê-lo antes de derreter.
A variação de temperatura da água até 0{,}0\,^\circ\mathrm{C} é
\Delta T = T_{\text{f}}-T_{\text{i,água}} = 0{,}0 - 60{,}0 = -60{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.á
A magnitude do calor cedido pela água ao cair de 60{,}0\,^\circ\mathrm{C} para 0{,}0\,^\circ\mathrm{C} é
Q_{\text{água}\to0} = m_{\text{água}}\,c\,\bigl(T_{\text{i,água}}-0{,}0\bigr).ááá
Substituindo números:
Q_{\text{água}\to0} = 545{,}4\cdot 4{,}18 \cdot 60{,}0.á
Calcule passo a passo:
4{,}18\cdot 60{,}0 = 250{,}8,
545{,}4\cdot 250{,}8 = 136786{,}32\\ \mathrm{J}.
Portanto
Q_{\text{água}\to0} = 136786{,}32\\ \mathrm{J}\approx 136{,}8\\ \mathrm{kJ}.á

Passo 4

Calcular o calor necessário para derreter todo o gelo inicial (se fosse derreter tudo). Esse calor seria
Q_{\text{derreter\_todo}} = m_{\text{gelo}}\,L_f = 443{,}1\cdot 334.
Calcule:
443{,}1\cdot 334 = 147995{,}4\\ \mathrm{J}\approx 148{,}0\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Comparação e conclusão qualitativa:
  • O calor que a água pode ceder ao cair a 0{,}0\,^\circ\mathrm{C} é Q_{\text{água}\to0}=136786{,}32\\ \mathrm{J}á.
  • O calor necessário para derreter todo o gelo é Q_{\text{derreter\_todo}}=147995{,}4\\ \mathrm{J}.
Como Q_{\text{água}\to0} < Q_{\text{derreter\_todo}}á, a água não tem calor suficiente para derreter todo o gelo. Isso implica que o equilíbrio térmico ocorrerá à temperatura de fusão do gelo:
T_{\text{final}} = 0{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
Ou seja, parte do gelo vai derreter consumindo todo o calor cedido pela água até 0{,}0\,^\circ\mathrm{C}, e sobra gelo remanescente.

Passo 6

Calcular a massa de gelo que efetivamente derrete usando todo o calor disponível Q_{\text{água}\to0}á. Seja m_{\text{derretido}} a massa de gelo que derrete. Temos
m_{\text{derretido}} = \frac{Q_{\text{água}\to0}}{L_f} = \frac{136786{,}32}{334}.á
Calcule:
m_{\text{derretido}} \approx 409{,}54\\ \mathrm{g}.
A massa de gelo remanescente é
m_{\text{remanescente}} = m_{\text{gelo}} - m_{\text{derretido}} = 443{,}1 - 409{,}54 = 33{,}56\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma razoável (os dados iniciais têm 4 algarismos significativos), podemos dar a massa remanescente como 33{,}6\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • A temperatura final é 0{,}0\,^\circ\mathrm{C} porque o calor disponível não foi suficiente para derreter todo o gelo.
  • A massa de gelo que sobrou é 33{,}6\\ \mathrm{g} (aproximadamente).

Resposta

T_{\text{final}} = 0{,}0\,^\circ\mathrm{C}
m_{\text{gelo remanescente}} \approx 33{,}6\\ \mathrm{g}

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