Quando observamos uma obra de arte que está atrás de um vidro, muitas vezes somos ofuscados pela luz que é refletida na superfície frontal do vidro, o que pode tornar dificil a contemplação da obra. Uma soluçāo é cobrir a superfície externa do vidro com uma pelílula para cancelar parte da ofuscaçāo.
(a) Se o vidro tem um índice de refração de 1,62 e você usar a película de
, que tem um índice de refraçāo igual a 2.62 , como revestimento, qual é a espessura mínima da película que cancelará uma luz de comprimento de onda igual a 505 mm ? ( 1,0 ponto)
(b) Se esse revestimento é fino demais para resistir ao desgaste, que outras espessuras também poderiam ser usadas? Calcule somente as três menores espessuras (1,0 ponto)
(a) Se o vidro tem um índice de refração de 1,62 e você usar a película de
(b) Se esse revestimento é fino demais para resistir ao desgaste, que outras espessuras também poderiam ser usadas? Calcule somente as três menores espessuras (1,0 ponto)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pergunta (a): calcular a espessura mínima da película de
que anula (cancela) a luz de comprimento de onda . - Pergunta (b): listar as três menores espessuras (positivas) que também funcionariam.
Informações numéricas fornecidas:
- índice de refração do vidro (substrato):
. - índice de refração da película de
: . - comprimento de onda da luz no ar:
.
Observações que usarei (sem perguntar mais nada): vou assumir incidência normal (raio vindo perpendicularmente à superfície), que é o caso usual quando não se diz o contrário.
Passo 2
Conceitos chave (aula rápida e intuitiva sobre interferência em películas finas)
- Quando a luz incide numa película fina há duas reflexões relevantes que podem se interferir: (i) a reflexão na superfície superior ar→filme e (ii) a reflexão na superfície inferior filme→substrato. Essas duas ondas refletidas chegam com diferença de fase e podem se cancelar (interferência destrutiva) ou somar (construtiva).
- A diferença de fase entre as duas ondas refletidas tem duas contribuições: (1) a diferença de fase devido ao caminho óptico extra que a onda transmitida percorre dentro da película (vai e volta) e (2) possíveis inversões de fase (salto de
) que ocorrem ao refletir em uma interface quando a luz vai de um meio de menor índice para um meio de maior índice.
Explicando os saltos de fase de forma simples:
- Se a luz reflete quando vai de um meio com índice menor para um meio com índice maior (
), a onda refletida sofre inversão de fase de (meio caminho = 180°). - Se a luz reflete indo de um meio de índice maior para um índice menor (
), não há inversão de fase.
Aplicando ao nosso caso:
- Reflexão na face superior: ar (
) → filme ( ). Como , essa reflexão sofre inversão de fase de . - Reflexão na face inferior: filme (
) → vidro ( ). Como , essa reflexão NÃO sofre inversão de fase. - Logo, entre as duas ondas refletidas há um salto de fase adicional de
vindo só das reflexões.
A contribuição do caminho óptico dentro da película (incidência normal) dá uma diferença de fase
onde:
-
é a espessura física da película (o que queremos achar), -
é o índice da película, -
é o comprimento de onda no ar (ou vácuo).
A diferença de fase total entre as duas reflexões é
onde o termo
é o salto de fase único devido às reflexões (conforme explicado acima).
Para que as reflexões se cancelem (interferência destrutiva) precisamos que a diferença de fase total seja um múltiplo ímpar de
:
Substituindo
e resolvendo para
:
dividindo por
:
Observação didática: repare que, por causa do salto de fase
ocorrido apenas numa das reflexões, o critério resulta em espessuras múltiplas de
. O caso mais frequentemente citado
aparece quando as inversões de fase nas duas superfícies são iguais (ou seja, quando ambos ou nenhum recebem salto
), mas aqui só uma superfície dá salto, por isso obtemos a condição acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula para a espessura mínima não nula (escolhemos
para a menor espessura positiva):
Dados numéricos em TeX:
A espessura mínima é
Cálculo numérico:
Explicação sobre a ordem de grandeza: essa espessura está na casa das dezenas de nanômetros, que é típica de filmes antirreflexo usados em óptica.
Passo 4
Respostas para (b): as espessuras possíveis que interrompem as reflexões são
as três menores (positivas) correspondem a
. Como
, basta multiplicar por
:
(Fiz as multiplicações diretas:
arredondado para uma casa decimal deu
mantendo consistência com
; valores apresentados com uma casa decimal.)
Passo 5
Pequeno incentivo e nota prática: pronto — a conta é direta quando se entende a origem do salto de fase e do caminho óptico. Na prática, escolhas como a durabilidade do filme, rugosidade e ângulo de incidência real também importam, mas para a prova e para incidir normal essa é a resposta correta.
Resposta
(a)
(b)
(b)