( 2,5 pontos) O modulo da densidade de corrente em um fio circular com 5 mm de raio é dado por J=\sigma r^{3}, onde r é a distância radial e \sigma=3 \times 10^{10} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{5}. A diferença de potencial aplicada às extremidades do fio é 60 V . Qual é a energia convertida em energia térmica em 30 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
A densidade de corrente (módulo) no fio é \,J(r)=\sigma\,r^{3}\,, onde r é a distância radial ao eixo do fio.
O coeficiente é \,\sigma=3\times10^{10}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{5}.
O raio do fio é \,R=5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A diferença de potencial aplicada às extremidades do fio é \,V=60\\ \mathrm{V}.
O intervalo de tempo é 30 minutos, ou seja \,t=30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}.
O que se pede: calcular a energia convertida em calor (energia dissipada) em t=1800\\ \mathrm{s} quando essa diferença de potencial de 60\\ \mathrm{V} é aplicada.
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A corrente total que atravessa a seção transversal do fio é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção:
I=\iint_{\text{seção}} J\,\mathrm{d}A.
Em coordenadas polares na seção (porque o problema tem simetria circular), o elemento de área é \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. O ângulo \theta vai de 0 a 2\pi e r vai de 0 a R.
A potência dissipada (energia por unidade de tempo) pode ser obtida por P=V\cdot I quando uma diferença de potencial V sustenta a corrente I (energia elétrica convertida em calor por resistência).
A energia total dissipada em tempo t é
E=P\,t = V I t.
Explicando por que P=VI: a potência elétrica entregue a um elemento é tensão vezes corrente; essa potência é dissipada em calor no fio se toda a potência fornecida é convertida em calor (caso usual de uma resistência ôhmica em regime estacionário).
Passo 3
Calcular a corrente total I integrando J(r) sobre a seção circular:
(Comentário útil: o valor é pequeno porque a densidade de corrente cresce com r^{3} mas o raio é pequeno; todas as contas foram feitas mantendo unidades SI.)
Passo 5
Calcular potência dissipada P e energia E:
Potência:
P=V\cdot I = 60\\ \mathrm{V}\times 0{,}11781\\ \mathrm{A}\approx 7{,}0686\\ \mathrm{W}.