( 2,5 pontos) O modulo da densidade de corrente em um fio circular com 5 mm de raio é dado por J=\sigma r^{3}, onde r é a distância radial e \sigma=3 \times 10^{10} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{5}. A diferença de potencial aplicada às extremidades do fio é 60 V . Qual é a energia convertida em energia térmica em 30 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A densidade de corrente (módulo) no fio é \,J(r)=\sigma\,r^{3}\,, onde r é a distância radial ao eixo do fio.
  • O coeficiente é \,\sigma=3\times10^{10}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{5}.
  • O raio do fio é \,R=5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • A diferença de potencial aplicada às extremidades do fio é \,V=60\\ \mathrm{V}.
  • O intervalo de tempo é 30 minutos, ou seja \,t=30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}.
O que se pede: calcular a energia convertida em calor (energia dissipada) em t=1800\\ \mathrm{s} quando essa diferença de potencial de 60\\ \mathrm{V} é aplicada.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A corrente total que atravessa a seção transversal do fio é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção:
I=\iint_{\text{seção}} J\,\mathrm{d}A.çã
  • Em coordenadas polares na seção (porque o problema tem simetria circular), o elemento de área é \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. O ângulo \theta vai de 0 a 2\pi e r vai de 0 a R.
  • A potência dissipada (energia por unidade de tempo) pode ser obtida por P=V\cdot I quando uma diferença de potencial V sustenta a corrente I (energia elétrica convertida em calor por resistência).
  • A energia total dissipada em tempo t é
E=P\,t = V I t.
Explicando por que P=VI: a potência elétrica entregue a um elemento é tensão vezes corrente; essa potência é dissipada em calor no fio se toda a potência fornecida é convertida em calor (caso usual de uma resistência ôhmica em regime estacionário).

Passo 3

Calcular a corrente total I integrando J(r) sobre a seção circular:
Escrevendo a integral em coordenadas polares:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} J(r)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} \sigma r^{3}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\sigma\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{R} r^{4}\,\mathrm{d}r.
Calcule a integral angular e a radial:
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{R} r^{4}\,\mathrm{d}r=\left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{5}}{5}.
Portanto a expressão fechada para I é
I=\frac{2\pi\sigma R^{5}}{5}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos passo a passo:
Primeiro calcule R^{5}:
R^{5}=\left(5\times10^{-3}\right)^{5}=5^{5}\times10^{-15}=3125\times10^{-15}=3{,}125\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^{5}.
Calcule \sigma R^{5}:
\sigma R^{5}=\left(3\times10^{10}\right)\left(3{,}125\times10^{-12}\right)=9{,}375\times10^{-2}\\ \mathrm{A}.
Agora calcule I usando a fórmula I=\dfrac{2\pi\sigma R^{5}}{5}:
I=\frac{2\pi}{5}\cdot 9{,}375\times10^{-2}.
Avalie numericamente \dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}25663706, então
I\approx 1{,}25663706\times 9{,}375\times10^{-2}\approx 0{,}11781\\ \mathrm{A}.
(Comentário útil: o valor é pequeno porque a densidade de corrente cresce com r^{3} mas o raio é pequeno; todas as contas foram feitas mantendo unidades SI.)

Passo 5

Calcular potência dissipada P e energia E:
Potência:
P=V\cdot I = 60\\ \mathrm{V}\times 0{,}11781\\ \mathrm{A}\approx 7{,}0686\\ \mathrm{W}.
Energia em t=1800\\ \mathrm{s}:
E=P\,t\approx 7{,}0686\\ \mathrm{W}\times 1800\\ \mathrm{s}\approx 12\,723{,}5\\ \mathrm{J}.
Arredondando com três algarismos significativos, \,E\approx 1{,}27\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

E\approx 1{,}27\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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