Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0 ; x_{0}=-1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
  • Equação diferencial dada: \left(x^{2}+1\right)y''+x y'+y=0.
  • Ponto a classificar: x_{0}=-1.
  • O que se pede: determinar se x_{0} é um ponto ordinário, um singular regular ou um singular irregular.

Passo 2

Relembrando as definições (passo-a-passo, sem pressa):
  • Escreve-se a equação na forma padrão dividindo pelo coeficiente de y'':
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
onde
p(x)=\frac{a_1(x)}{a_2(x)},\qquad q(x)=\frac{a_0(x)}{a_2(x)},
e aqui a_2(x)=x^{2}+1,\;a_1(x)=x,\;a_0(x)=1.
  • Classificação:
    • Um ponto x_{0} é ponto ordinário se a_2(x_{0})\neq0. Intuição: o coeficiente de y'' não zera aí, então a equação pode ser escrita com y'' isolado e os coeficientes p,q são analíticos em x_{0}.
    • Se a_2(x_{0})=0 então x_{0} é ponto singular. Nesse caso distinguimos:
      • singular regular (ou regular singular) se (x-x_{0})p(x) e (x-x_{0})^{2}q(x) são ambos analíticos em x_{0};
      • singular irregular caso contrário.
Vou aplicar essas checagens ao nosso problema.

Passo 3

Calcular o coeficiente principal no ponto:
  • a_2(x)=x^{2}+1. Então
a_2(-1)=(-1)^{2}+1=1+1=2.
Como \,a_2(-1)=2\neq0, o coeficiente de y'' não se anula em x_{0}=-1.

Passo 4

Interpretação prática do que encontramos (explicando o porquê, passo-a-passo):
  • Se a_2(-1)\neq0 então, ao dividir a equação por a_2(x), os coeficientes
p(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\qquad q(x)=\frac{1}{x^{2}+1}
são funções que são racionais com denominador x^{2}+1. Como x^{2}+1 não zera em x=-1, ambas p(x) e q(x) são analíticas (têm série de Taylor) em torno de x=-1.
  • Consequência prática que costuma aparecer em provas: quando o ponto é tal que a_2(x_0)\neq0, podemos procurar soluções em séries de potências centradas em x_0 (método de séries de potências padrão) e não precisamos usar o método de Frobenius.

Passo 5

Resumo do raciocínio sem linguagem técnica complicada:
  • Verifiquei o coeficiente de y'' em x=-1, deu 2\neq0. Isso significa que a equação é bem comportada aí: os coeficientes após dividir por y'' são funções analíticas no ponto. Portanto o ponto não é singular; é do tipo em que a solução local pode ser desenvolvida em série de potências.

Resposta

Ponto ordinário

Exercícios relacionados