Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
- Equação diferencial dada:
- Ponto a classificar:
. - O que se pede: determinar se
é um ponto ordinário, um singular regular ou um singular irregular.
Passo 2
Relembrando as definições (passo-a-passo, sem pressa):
- Escreve-se a equação na forma padrão dividindo pelo coeficiente de
:
onde
e aqui
.
- Classificação:
- Um ponto
é ponto ordinário se . Intuição: o coeficiente de não zera aí, então a equação pode ser escrita com isolado e os coeficientes são analíticos em . - Se
então é ponto singular. Nesse caso distinguimos: - singular regular (ou regular singular) se
e são ambos analíticos em ; - singular irregular caso contrário.
- singular regular (ou regular singular) se
- Um ponto
Vou aplicar essas checagens ao nosso problema.
Passo 3
Calcular o coeficiente principal no ponto:
-
. Então
Como
, o coeficiente de
não se anula em
.
Passo 4
Interpretação prática do que encontramos (explicando o porquê, passo-a-passo):
- Se
então, ao dividir a equação por , os coeficientes
são funções que são racionais com denominador
. Como
não zera em
, ambas
e
são analíticas (têm série de Taylor) em torno de
.
- Consequência prática que costuma aparecer em provas: quando o ponto é tal que
, podemos procurar soluções em séries de potências centradas em (método de séries de potências padrão) e não precisamos usar o método de Frobenius.
Passo 5
Resumo do raciocínio sem linguagem técnica complicada:
- Verifiquei o coeficiente de
em , deu . Isso significa que a equação é bem comportada aí: os coeficientes após dividir por são funções analíticas no ponto. Portanto o ponto não é singular; é do tipo em que a solução local pode ser desenvolvida em série de potências.
Resposta
Ponto ordinário