1. ( 2,0 pontos) Qual é a potência máxima que pode ser recebida a uma distância de 1,5 km no espaço livre em um sistema de comunicação que opera a 1,5 \mathrm{GHz}, que possui uma antena transmissora com ganho de 25 dB e uma antena receptora com ganho de 30 dB ? Considere que a potência transmitida é de 200 W .

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
  • Potência transmitida: \;P_t=200\\ \text{W}.
  • Frequência da operação: \;f=1{,}5\\ \text{GHz}.
  • Ganho da antena transmissora: \;G_t=25\\ \text{dB}.
  • Ganho da antena receptora: \;G_r=30\\ \text{dB}.
  • Distância entre antenas (em espaço livre): \;R=1{,}5\\ \text{km}=1500\\ \text{m}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a potência máxima que pode ser recebida à distância dada (ou seja, a potência recebida em espaço livre, considerando os ganhos fornecidos).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (equação de Friis para espaço livre, válida no campo distante / linha de visada):
P_r = P_t \, G_t \, G_r \left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2.
Explicando cada termo:
  • \;P_r é a potência recebida (o que queremos).
  • \;P_t é a potência transmitida (dada).
  • \;G_t é o ganho da antena transmissora em fator linear (não em dB).
  • \;G_r é o ganho da antena receptora em fator linear.
  • \;\lambda é o comprimento de onda do sinal (em metros).
  • \;R é a distância entre as antenas (em metros).
  • O fator \left(\dfrac{\lambda}{4\pi R}\right)^2 representa a perda de propagação em espaço livre (quanto menor a razão \lambda/(4\pi R), menor a potência recebida).

Passo 3

Primeiro precisamos converter os ganhos dados em decibéis para fatores lineares. Fórmula de conversão:
G_{\text{lin}} = 10^{G_{\text{dB}}/10}.
Aplicando aos dois ganhos:
G_t = 10^{25/10} = 10^{2{,}5} \approx 316{,}227766.
G_r = 10^{30/10} = 10^{3} = 1000.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda. Usamos a velocidade da luz aproximada \;c=3\times10^{8}\\ \text{m/s} e \lambda = c/f:
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\times10^{8}}{1{,}5\times10^{9}} = 0{,}2\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular o fator de perda espacial \left(\dfrac{\lambda}{4\pi R}\right)^2. Primeiro \;4\pi R:
4\pi R = 4\pi\cdot1500 \approx 6000\pi \approx 18849{,}5559\\ \text{m}.
Agora a razão e o quadrado:
\frac{\lambda}{4\pi R} = \frac{0{,}2}{18849{,}5559} \approx 1{,}061032954\times10^{-5},
\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2 \approx \left(1{,}061032954\times10^{-5}\right)^2 \approx 1{,}12549\times10^{-10}.

Passo 6

Agora aplicamos a equação de Friis com todos os valores em forma linear:
P_r = P_t \, G_t \, G_r \left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2.
Substituindo números:
P_r \approx 200 \times 316{,}227766 \times 1000 \times 1{,}12549\times10^{-10}.
Calcule passo a passo:
200 \times 316{,}227766 \times 1000 = 63\,245\,553{,}2034
P_r \approx 63\,245\,553{,}2034 \times 1{,}12549\times10^{-10} \approx 7{,}113\times10^{-3}\\ \text{W}.

Passo 7

Interpretação do resultado em unidades mais práticas: transformar para miliwatts
P_r \approx 7{,}113\times10^{-3}\\ \text{W} = 7{,}113\\ \text{mW}.
Portanto, a potência máxima recebida em espaço livre nessa configuração é da ordem de alguns miliwatts. Dá para ver que, mesmo com ganhos elevados, a perda com distância é forte; por isso a razão de \lambda/(4\pi R) ao quadrado reduz bastante a potência.

Resposta

\;P_r \approx 7{,}113\times10^{-3}\\ \text{W} \approx 7{,}113\\ \text{mW}

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