- (2,0 pontos) Uma antena tipo dipolo hertziano, cujo comprimento é
, está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de
. Determine:
c) o ganho diretivo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: uma antena tipo dipolo hertziano (dipolo muito curto) com comprimento
localizada na origem. (Peguei o comprimento do enunciado.) - Dado: a antena é alimentada por uma corrente
. Ou seja, a amplitude da corrente é (A). (Peguei a amplitude da corrente do enunciado.) - Pedido (parte c): determinar o ganho diretivo (diretividade) da antena.
Observação importante: a diretividade de um dipolo hertziano depende apenas do padrão de radiação (função angular) e não da amplitude da corrente, portanto a resposta não vai depender de
(mas eu mostro isso na resolução).
Passo 2
O que é diretividade e como vamos calculá‑la (definição e fórmulas úteis):
- Diretividade
é a razão entre a intensidade de radiação máxima e a intensidade média se a potência radiada fosse distribuída isotropicamente. Em fórmulas:
onde:
-
é a intensidade de radiação (potência por unidade de ângulo sólido) em direção , -
, -
é a potência total radiada. - Intensidade de radiação relaciona‑se ao campo elétrico distante
pela média temporal do vetor de Poynting:
onde:
-
é a impedância característica do espaço livre (vacuum), , -
é a distância no campo distante (o fator cancela posteriormente), -
é a amplitude do componente do campo elétrico no campo distante.
Vou então obter
para o dipolo curto, calcular
, integrar para achar
e usar a definição de
.
Passo 3
Expressão do campo elétrico no campo distante para um dipolo hertziano (curto):
- Para um dipolo elétrico de comprimento
muito menor que o comprimento de onda ( ), no regime harmônico com amplitude de corrente , o componente dominante do campo elétrico no campo distante é
onde:
-
é o número de onda, -
é a unidade imaginária (aparece pela representação fasorial), -
representa a fase de propagação (só a magnitude importa para potência). - Notas didáticas:
- Essa expressão vem da solução de campo de um elemento de antena curto (Hertzian). O fator
mostra que o máximo do campo está no plano perpendicular ao dipolo ( ). - A condição
garante a validade da aproximação linear ao longo do dipolo.
- Essa expressão vem da solução de campo de um elemento de antena curto (Hertzian). O fator
Passo 4
Cálculo da intensidade de radiação
:
- Primeiro calculemos
. Da expressão anterior,
- A intensidade de radiação (média temporal do fluxo de potência vezes
) é
- Simplificando (os
cancelam e uma fica no numerador):
Passo 5
Cálculo da potência total radiada
pela integração sobre todas as direções:
- Usamos
- Substituindo
:
- Como a expressão não depende de
, a integral em dá . Logo
- Avaliando
: uma forma rápida é usar e a substituição , obtendo
- Então
- Simplificando constantes:
Passo 6
Cálculo da diretividade
:
- A intensidade máxima ocorre em
(onde ), portanto
- Aplicando a definição
- Cancelam
e simplificando fatores:
- Conclusão: a diretividade do dipolo hertziano é
Passo 7
Verificações e comentário final didático:
- A aproximação de dipolo curto é válida neste enunciado porque
e
logo a fórmula usada é adequada.
- Note que a diretividade
não depende de nem de (desde que ); é uma característica do padrão angular do dipolo hertziano. - Em unidades decibéis isotrópicos (dBi),