1. (2,0 pontos) Uma antena tipo dipolo hertziano, cujo comprimento é \lambda / 100, está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de 0,25 \operatorname{sen}\left(10^{8} \mathrm{t}\right). Determine:
c) o ganho diretivo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: uma antena tipo dipolo hertziano (dipolo muito curto) com comprimento l=\lambda/100 localizada na origem. (Peguei o comprimento l do enunciado.)
  • Dado: a antena é alimentada por uma corrente 0,25\operatorname{sen}\left(10^{8}t\right). Ou seja, a amplitude da corrente é I_0=0,25 (A). (Peguei a amplitude da corrente do enunciado.)
  • Pedido (parte c): determinar o ganho diretivo (diretividade) da antena.
Observação importante: a diretividade de um dipolo hertziano depende apenas do padrão de radiação (função angular) e não da amplitude da corrente, portanto a resposta não vai depender de I_0 (mas eu mostro isso na resolução).

Passo 2

O que é diretividade e como vamos calculá‑la (definição e fórmulas úteis):
  • Diretividade D é a razão entre a intensidade de radiação máxima e a intensidade média se a potência radiada fosse distribuída isotropicamente. Em fórmulas:
D=\frac{4\pi U_{\max}}{P_{\text{rad}}},
onde:
  • U(\theta,\varphi) é a intensidade de radiação (potência por unidade de ângulo sólido) em direção (\theta,\varphi),
  • U_{\max}=\max_{\theta,\varphi}U(\theta,\varphi),
  • P_{\text{rad}}=\displaystyle\int_{4\pi} U(\theta,\varphi)\,d\Omega é a potência total radiada.
  • Intensidade de radiação relaciona‑se ao campo elétrico distante E_\theta pela média temporal do vetor de Poynting:
U(\theta)=r^{2}\left\langle S_r\right\rangle = r^{2}\,\frac{|E_\theta|^{2}}{2\eta},
onde:
  • \eta é a impedância característica do espaço livre (vacuum), \eta=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}=120\pi\approx376{,}73\\ \Omega,
  • r é a distância no campo distante (o fator r^2 cancela posteriormente),
  • |E_\theta| é a amplitude do componente \theta do campo elétrico no campo distante.
Vou então obter E_\theta para o dipolo curto, calcular U(\theta), integrar para achar P_{\text{rad}} e usar a definição de D.

Passo 3

Expressão do campo elétrico no campo distante para um dipolo hertziano (curto):
  • Para um dipolo elétrico de comprimento l muito menor que o comprimento de onda ( l\ll\lambda), no regime harmônico com amplitude de corrente I_0, o componente dominante do campo elétrico no campo distante é
E_\theta = j\,\eta\,\frac{k I_0 l}{4\pi r}\,\sin\theta\,e^{-jkr},
onde:
  • k=\dfrac{2\pi}{\lambda} é o número de onda,
  • j é a unidade imaginária (aparece pela representação fasorial),
  • e^{-jkr} representa a fase de propagação (só a magnitude importa para potência).
  • Notas didáticas:
    • Essa expressão vem da solução de campo de um elemento de antena curto (Hertzian). O fator \sin\theta mostra que o máximo do campo está no plano perpendicular ao dipolo ( \theta=\pi/2).
    • A condição l\ll\lambda garante a validade da aproximação linear I(z)\approx I_0 ao longo do dipolo.

Passo 4

Cálculo da intensidade de radiação U(\theta):
  • Primeiro calculemos |E_\theta|^{2}. Da expressão anterior,
|E_\theta|^{2}=\left(\eta\,\frac{k I_0 l}{4\pi r}\right)^{2}\sin^{2}\theta.
  • A intensidade de radiação (média temporal do fluxo de potência vezes r^2) é
U(\theta)=r^{2}\frac{|E_\theta|^{2}}{2\eta} = \frac{1}{2\eta}\,r^{2}\left(\eta^{2}\frac{(k I_0 l)^{2}}{16\pi^{2} r^{2}}\right)\sin^{2}\theta.
  • Simplificando (os r^{2} cancelam e uma \eta fica no numerador):
U(\theta)=\frac{\eta (k I_0 l)^{2}}{32\pi^{2}}\sin^{2}\theta.

Passo 5

Cálculo da potência total radiada P_{\text{rad}} pela integração sobre todas as direções:
  • Usamos
P_{\text{rad}}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} U(\theta)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • Substituindo U(\theta):
P_{\text{rad}}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \frac{\eta (k I_0 l)^{2}}{32\pi^{2}}\sin^{2}\theta \sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • Como a expressão não depende de \varphi, a integral em \varphi 2\pi. Logo
P_{\text{rad}}=2\pi\cdot \frac{\eta (k I_0 l)^{2}}{32\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Avaliando \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta: uma forma rápida é usar \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta, obtendo
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta = \frac{4}{3}.
  • Então
P_{\text{rad}}=2\pi\cdot \frac{\eta (k I_0 l)^{2}}{32\pi^{2}}\cdot\frac{4}{3}.
  • Simplificando constantes:
P_{\text{rad}}=\frac{\eta (k I_0 l)^{2}}{12\pi}.

Passo 6

Cálculo da diretividade D:
  • A intensidade máxima ocorre em \theta=\pi/2 (onde \sin^{2}\theta=1), portanto
U_{\max}=U\Big|_{\theta=\pi/2}=\frac{\eta (k I_0 l)^{2}}{32\pi^{2}}.
  • Aplicando a definição
D=\frac{4\pi U_{\max}}{P_{\text{rad}}} =4\pi\cdot\frac{\dfrac{\eta (k I_0 l)^{2}}{32\pi^{2}}}{\dfrac{\eta (k I_0 l)^{2}}{12\pi}}.
  • Cancelam \eta (k I_0 l)^{2} e simplificando fatores:
D=4\pi\cdot\frac{1}{32\pi^{2}}\cdot\frac{12\pi}{1} =\frac{48\pi^{2}}{32\pi^{2}}=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}.
  • Conclusão: a diretividade do dipolo hertziano é
D=\frac{3}{2}=1{,}5.

Passo 7

Verificações e comentário final didático:
  • A aproximação de dipolo curto é válida neste enunciado porque l=\lambda/100 e
k l=\frac{2\pi}{\lambda}l=2\pi\cdot\frac{1}{100}=0{,}02\pi\approx0{,}0628\ll1,
logo a fórmula usada é adequada.
  • Note que a diretividade D=1{,}5 não depende de I_0 nem de l (desde que l\ll\lambda); é uma característica do padrão angular \sin^{2}\theta do dipolo hertziano.
  • Em unidades decibéis isotrópicos (dBi),
D_{\text{dBi}}=10\log_{10}(1{,}5)\approx 1{,}76\\ \mathrm{dBi}.

Resposta

D=1{,}5 (linear) \newline
D\approx1{,}76\\ \mathrm{dBi}

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