- ( 2,0 pontos) Uma antena em anel de 20 cm de raio, com 100 espiras, opera a 10 MHz , no ar, e deve fornecer uma amplitude de campo de
a 3 m de distância. Determine:
a) a corrente que alimenta a antena:
b) a potência média radiada pela antena.
a) a corrente que alimenta a antena:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos esses dados do enunciado):
- Raio do anel:
. - Número de espiras:
. - Frequência:
. - Meio: ar (aproximamos por vácuo quanto às constantes eletromagnéticas).
- Distância em que se quer a amplitude do campo:
. - Amplitude do campo elétrico exigida:
.
O enunciado pede:
(a) a corrente que alimenta a antena (amplitude da corrente), e
(b) a potência média radiada pela antena.
(a) a corrente que alimenta a antena (amplitude da corrente), e
(b) a potência média radiada pela antena.
Passo 2
Conceitos e hipóteses que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Um pequeno anel circular com
espiras e corrente tem momento dipolar magnético (momento magnético) igual a
onde
é a área da espira. Aqui
.
- Para uma espira cujo perímetro é muito menor que o comprimento de onda (condição de “small loop”), a radiação no campo distante (far field) é a mesma de um dipolo magnético. Verificamos a condição:
Se
então a aproximação de small loop vale.
- No campo distante, a componente do campo elétrico radiado (no máximo em
, direção no plano da espira) tem magnitude
onde:
-
é a impedância do meio (no ar/vácuo ); -
é o número de onda: ; -
é o momento magnético do anel; -
é a distância (campo distante); -
é o ângulo polar; o máximo ocorre em , então . -
Rearranjando essa fórmula para
(usando e ) obtemos a corrente necessária:
- A potência média radiada por um dipolo magnético (pequena espira) é dada por
com
. Essa expressão resulta da integração do vetor de Poynting no espaço (é a forma padrão para potência radiada por um dipolo magnético pequeno).
Passo 3
Calcular quantidades intermediárias (comprimento de onda, número de onda, área, verificar small-loop):
- Comprimento de onda:
- Circunferência do anel:
Comparando com
, temos
. Portanto a aproximação de small loop é válida.
- Número de onda:
- Impedância do meio (ar/vácuo):
- Área da espira:
Passo 4
Cálculo da corrente
a partir da fórmula
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
-
Agora
-
Finalmente
Portanto a amplitude da corrente que alimenta a antena é aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo da potência média radiada
. Usamos
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Agora calcule o numerador
:
- Dividindo por
( ):
Assim a potência média radiada é aproximadamente
(ou
).
Passo 6
Rápida interpretação e incentivo: a corrente necessária é pequena (alguns miliampères) e a potência radiada é muito baixa (frações de miliwatt) — isso é típico de pequenas antenas em loop operando a uma distância relativamente curta e a baixa frequência em que o loop é muito menor que o comprimento de onda. Você está indo bem; esses passos (verificar small-loop, usar
, aplicar a fórmula de campo no far-field e depois a expressão da potência) são o caminho padrão que você deve decorar para a prova.