1. ( 2,0 pontos) Uma antena em anel de 20 cm de raio, com 100 espiras, opera a 10 MHz , no ar, e deve fornecer uma amplitude de campo de 50 \mathrm{mV} / \mathrm{m} a 3 m de distância. Determine:
    a) a corrente que alimenta a antena:
b) a potência média radiada pela antena.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos esses dados do enunciado):
  • Raio do anel: \,a=0{,}20\\ \text{m}.
  • Número de espiras: \,N=100.
  • Frequência: \,f=10\\ \text{MHz}=10\times10^{6}\\ \text{Hz}.
  • Meio: ar (aproximamos por vácuo quanto às constantes eletromagnéticas).
  • Distância em que se quer a amplitude do campo: \,r=3\\ \text{m}.
  • Amplitude do campo elétrico exigida: \,E=50\\ \text{mV/m}=50\times10^{-3}\\ \text{V/m}=0{,}05\\ \text{V/m}.
O enunciado pede:
(a) a corrente que alimenta a antena (amplitude da corrente), e
(b) a potência média radiada pela antena.

Passo 2

Conceitos e hipóteses que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Um pequeno anel circular com N espiras e corrente I tem momento dipolar magnético (momento magnético) igual a
m = N I A,
onde A é a área da espira. Aqui A=\pi a^{2}.
  • Para uma espira cujo perímetro é muito menor que o comprimento de onda (condição de “small loop”), a radiação no campo distante (far field) é a mesma de um dipolo magnético. Verificamos a condição:
\lambda = \frac{c}{f},\qquad \text{circunferência} = 2\pi a.ê
Se 2\pi a \ll \lambda então a aproximação de small loop vale.
  • No campo distante, a componente do campo elétrico radiado (no máximo em \theta=90^\circ, direção no plano da espira) tem magnitude
E = \eta\,\frac{k^{2}\,m}{4\pi r}\,\sin\theta,
onde:
  • \eta é a impedância do meio (no ar/vácuo \eta\approx 120\pi\\ \Omega\approx 376{,}99\\ \Omega);
  • k é o número de onda: k=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • m é o momento magnético do anel;
  • r é a distância (campo distante);
  • \theta é o ângulo polar; o máximo ocorre em \theta=90^\circ, então \sin\theta=1.
  • Rearranjando essa fórmula para I (usando m=N I A e \sin\theta=1) obtemos a corrente necessária:
I=\frac{4\pi r\,E}{\eta\,k^{2}\,N\,A}.
  • A potência média radiada por um dipolo magnético (pequena espira) é dada por
P_{\text{rad}}=\frac{\eta\,k^{4}\,m^{2}}{12\pi},
com m=N I A. Essa expressão resulta da integração do vetor de Poynting no espaço (é a forma padrão para potência radiada por um dipolo magnético pequeno).

Passo 3

Calcular quantidades intermediárias (comprimento de onda, número de onda, área, verificar small-loop):
  • Comprimento de onda:
\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3{,}0\times10^{8}\\ \text{m/s}}{10\times10^{6}\\ \text{Hz}}=30\\ \text{m}.
  • Circunferência do anel:
2\pi a = 2\pi(0{,}20)=0{,}4\pi\\ \text{m}\approx1{,}257\\ \text{m}.
Comparando com \lambda=30\\ \text{m}, temos 2\pi a \ll \lambda. Portanto a aproximação de small loop é válida.
  • Número de onda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15}\\ \text{rad/m}\approx0{,}2094395\\ \text{rad/m}.
  • Impedância do meio (ar/vácuo):
\eta\approx 120\pi\\ \Omega\approx 376{,}991\\ \Omega.
  • Área da espira:
A=\pi a^{2}=\pi(0{,}20)^{2}=\pi\cdot0{,}04=0{,}04\pi\\ \text{m}^{2}\approx0{,}125664\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Cálculo da corrente I a partir da fórmula
I=\frac{4\pi r\,E}{\eta\,k^{2}\,N\,A}.
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
  • Primeiro calcule 4\pi r E:
4\pi r E = 4\pi\cdot 3\\ \text{m}\cdot 0{,}05\\ \text{V/m} = 0{,}6\pi \approx 1{,}88496.
  • Calcule k^{2} N A:
k^{2} = (0{,}2094395)^{2}\approx 0{,}043831,
k^{2} N A = 0{,}043831\cdot 100\cdot 0{,}125664 \approx 0{,}551035.
  • Agora \eta\,k^{2} N A \approx 376{,}991\cdot 0{,}551035 \approx 207{,}85.
  • Finalmente
I=\frac{1{,}88496}{207{,}85}\approx 0{,}00907\\ \text{A}=9{,}07\\ \text{mA}.
Portanto a amplitude da corrente que alimenta a antena é aproximadamente \,9{,}07\\ \text{mA}.

Passo 5

Cálculo da potência média radiada P_{\text{rad}}. Usamos
P_{\text{rad}}=\frac{\eta\,k^{4}\,m^{2}}{12\pi},\qquad m=NIA.
  • Primeiro calcule m=N I A:
m = 100\cdot 0{,}00907\\ \text{A}\cdot 0{,}125664\\ \text{m}^{2}\approx 0{,}11396\\ \text{A}\cdot\text{m}^{2}.
  • Calcule k^{4}:
k^{4}=(k^{2})^{2}\approx (0{,}043831)^{2}\approx 0{,}001920.
  • Agora calcule o numerador \eta\,k^{4}\,m^{2}:
m^{2}\approx (0{,}11396)^{2}\approx 0{,}01299,
\eta\,k^{4}\,m^{2}\approx 376{,}991\cdot 0{,}001920\cdot 0{,}01299\approx 0{,}009417.
  • Dividindo por 12\pi ( 12\pi\approx 37{,}6991):
P_{\text{rad}}=\frac{0{,}009417}{37{,}6991}\approx 2{,}498\times10^{-4}\\ \text{W}\approx 0{,}25\\ \text{mW}.
Assim a potência média radiada é aproximadamente \,2{,}5\times10^{-4}\\ \text{W} (ou 0{,}25\\ \text{mW}).

Passo 6

Rápida interpretação e incentivo: a corrente necessária é pequena (alguns miliampères) e a potência radiada é muito baixa (frações de miliwatt) — isso é típico de pequenas antenas em loop operando a uma distância relativamente curta e a baixa frequência em que o loop é muito menor que o comprimento de onda. Você está indo bem; esses passos (verificar small-loop, usar m=NIA, aplicar a fórmula de campo no far-field e depois a expressão da potência) são o caminho padrão que você deve decorar para a prova.

Resposta

I \approx 9{,}07\times10^{-3}\\ \text{A} \;=\; 9{,}07\\ \text{mA}
P_{\text{rad}} \approx 2{,}50\times10^{-4}\\ \text{W} \;=\; 0{,}25\\ \text{mW}

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