(7 pontos) A quantidade de chuva é um fator importante que influencia na produtividade agrícola. Para medir esse efeito, foram anotadas, para 8 diferentes regiões produtoras de soja, o índice pluviométrico (
em mm ) e a produção na última safra (
em certa unidade de massa), sendo os resultados descritos a seguir:
Com base nesses resultados responda:
a) Determine a equação de regressão linear simples que permita estimar a produção no último ano em função do índice pluviométrico.
b) Obtenha uma estimativa da produção de soja no último ano para uma localidade que apresentou 122 mm de chuva.
c) Determine o desvio da regressão (resíduo) para uma localidade em que choveu
.
d) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente da regressão.
e) Calcule e interprete o valor estimado para a constante da regressão.
f) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente de correlação.
g) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente de determinação.
a) Determine a equação de regressão linear simples que permita estimar a produção no último ano em função do índice pluviométrico.
b) Obtenha uma estimativa da produção de soja no último ano para uma localidade que apresentou 122 mm de chuva.
c) Determine o desvio da regressão (resíduo) para uma localidade em que choveu
d) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente da regressão.
e) Calcule e interprete o valor estimado para a constante da regressão.
f) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente de correlação.
g) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente de determinação.
Passo 1
O enunciado dá observações de
(índice pluviométrico, em mm) e
(produção de soja) para
regiões e pede várias coisas relacionadas à regressão linear simples de
em função de
. Perguntas específicas:
a) Determinar a equação de regressão linear simples que estima a partir de
.
b) Estimar a produção para uma localidade com .
c) Determinar o desvio (resíduo) para a observação .
d) Calcular e interpretar o coeficiente de regressão (declive).
e) Calcular e interpretar a constante (intercepto) da regressão.
f) Calcular e interpretar o coeficiente de correlação.
g) Calcular e interpretar o coeficiente de determinação.
a) Determinar a equação de regressão linear simples que estima
b) Estimar a produção para uma localidade com
c) Determinar o desvio (resíduo) para a observação
d) Calcular e interpretar o coeficiente de regressão (declive).
e) Calcular e interpretar a constante (intercepto) da regressão.
f) Calcular e interpretar o coeficiente de correlação.
g) Calcular e interpretar o coeficiente de determinação.
Informações relevantes fornecidas (vou listar explicitamente; todas as contas numéricas que usarei a seguir derivam desses dados):
Passo 2
Calcular as médias amostrais (muito importante: sempre comece por aqui ao fazer regressão). Fórmula da média amostral de
:
Aplicando os valores dados:
Analogamente para
:
Explicação rápida:
e
são os centros dos dados em
e
; a reta de regressão gira em torno desses centros.
Passo 3
Lembrando as fórmulas da regressão linear simples (vou explicar cada uma):
- O coeficiente angular (declive)
é dado por
onde
(soma dos produtos dos desvios) e
(soma dos quadrados dos desvios de
). Essas quantidades já foram fornecidas no enunciado:
e
. Então calculamos:
Vou dividir e arredondar com cuidado (mantendo precisão razoável para prova). Fazendo a divisão obtemos
Interpretação da fórmula:
mede quanto, em média,
varia quando
aumenta uma unidade (aqui uma unidade de
é
de chuva).
Passo 4
Agora calculamos o intercepto
pela relação
Substituindo os valores já calculados:
Calculo detalhado:
logo
Explicação:
é o valor previsto de
quando
(é onde a reta cruza o eixo
). Nem sempre tem sentido prático (pode ser extrapolação), mas é parte da equação da reta.
Passo 5
Escrevendo a equação da regressão com os coeficientes obtidos. A equação de regressão estimada (previsão de
dado
) é:
Substituindo os valores:
Comentário didático: na prova, escreva a reta com pelo menos 3 casas decimais; eu mantive 5 casas em cálculos intermediários e apresento 5 para consistência, mas para resposta 3 casas é suficiente.
Passo 6
(b) Estimativa da produção para
. Basta substituir
na equação:
Calculemos:
então
Interpretação: a previsão da produção para região com
é aproximadamente
(na unidade de massa usada nos dados).
Passo 7
(c) Desvio (resíduo) para a observação
. O resíduo é
Temos
(dados) e
calculado no passo anterior (
). Então
Interpretação: o resíduo positivo indica que a produção observada (
) foi cerca de
unidades maior que o valor previsto pela regressão; ou seja, esse ponto ficou acima da reta.
Passo 8
(d) Interpretação detalhada do coeficiente de regressão
(já calculado):
.
Significado prático: para cada aumento de na chuva, a produção média de soja aumenta, em média, cerca de
unidades de produção (a unidade de
que os dados usam). Em termos mais amigáveis: um aumento de
resultaria, em média, em aumento de cerca de
unidades de produção. Observação importante: isso é uma associação média observada nos dados; não prova causalidade absoluta, mas sugere que mais chuva está associada a maior produção, no intervalo observado.
Significado prático: para cada aumento de
Passo 9
(e) Interpretação detalhada do intercepto
:
.
Significado prático: é o valor previsto de
quando
. Aqui ele é pequeno e positivo (
), mas como os dados têm
mínimos em
, tomar
é extrapolar muito além do intervalo observado; portanto esse valor tem pouco sentido físico prático, servindo apenas como parâmetro matemático da reta. Em provas, diga isso: interpretável matematicamente, mas não confiável para previsão fora da faixa dos dados.
Significado prático:
Passo 10
(f) Calcular o coeficiente de correlação amostral
. Fórmula:
Usando os valores fornecidos:
Calculemos o denominador:
portanto
Assim
Interpretação:
indica uma correlação positiva moderada a forte entre índice pluviométrico e produção; ou seja, quando
aumenta,
tende a aumentar de forma relativamente consistente, mas não perfeita (não é 1).
Passo 11
(g) Coeficiente de determinação
. Fórmula:
Com
,
Interpretação: cerca de
da variação observada em
(produção) pode ser explicada pela variação em
(índice pluviométrico) através do modelo linear; o restante (
) é devido a outros fatores ou variabilidade não explicada pelo modelo linear simples. Em termos práticos: a chuva é um fator importante (explica mais da metade da variabilidade), mas não explica tudo.
Resposta
a)
b)
c)
d) — para cada aumento de
de chuva, a produção média aumenta cerca de
unidades.
e) — valor previsto de
quando
; matematicamente relevante, porém sem sentido prático forte aqui (extrapolação fora do intervalo observado).
f) — correlação positiva moderada/forte entre chuva e produção.
g) — cerca de
da variabilidade da produção é explicada pela variação do índice pluviométrico segundo o modelo linear.
b)
c)
d)
e)
f)
g)