(7 pontos) A quantidade de chuva é um fator importante que influencia na produtividade agrícola. Para medir esse efeito, foram anotadas, para 8 diferentes regiões produtoras de soja, o índice pluviométrico ( X em mm ) e a produção na última safra ( Y em certa unidade de massa), sendo os resultados descritos a seguir:
\begin{array}{rlrlrl} \sum_{i=1}^{n} X_{i} & =1085 ; & \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}=151533 ; & \sum_{i=1}^{n} Y_{i}=310 ; & & \sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}=12640 ; \\\ \sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i}=43245 ; & \mathrm{SQD}_{X}=4379,875 ; & \mathrm{SQD}_{Y}=627,5 ; & \mathrm{SPD}_{X Y}=1201,25 ; \\\ X_{\min }=115 ; & X_{\operatorname{máx}}=190 ; & n=8 ; & & X_{3}=122 \text { e } Y_{3}=45 . \end{array}
Com base nesses resultados responda:
a) Determine a equação de regressão linear simples que permita estimar a produção no último ano em função do índice pluviométrico.
b) Obtenha uma estimativa da produção de soja no último ano para uma localidade que apresentou 122 mm de chuva.
c) Determine o desvio da regressão (resíduo) para uma localidade em que choveu X_{3}=122 \mathrm{~mm}.
d) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente da regressão.
e) Calcule e interprete o valor estimado para a constante da regressão.
f) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente de correlação.
g) Calcule e interprete o valor estimado para o coeficiente de determinação.

Passo 1

O enunciado dá observações de X (índice pluviométrico, em mm) e Y (produção de soja) para n=8 regiões e pede várias coisas relacionadas à regressão linear simples de Y em função de X. Perguntas específicas:
a) Determinar a equação de regressão linear simples que estima Y a partir de X.
b) Estimar a produção para uma localidade com X=122\\ \mathrm{mm}.
c) Determinar o desvio (resíduo) para a observação X_{3}=122,\\ Y_{3}=45.
d) Calcular e interpretar o coeficiente de regressão (declive).
e) Calcular e interpretar a constante (intercepto) da regressão.
f) Calcular e interpretar o coeficiente de correlação.
g) Calcular e interpretar o coeficiente de determinação.
Informações relevantes fornecidas (vou listar explicitamente; todas as contas numéricas que usarei a seguir derivam desses dados):
\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n} X_{i}=1085,\qquad \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}=151533,\\\ &\sum_{i=1}^{n} Y_{i}=310,\qquad \sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}=12640,\\\ &\sum_{i=1}^{n} X_{i}Y_{i}=43245,\\\ &\mathrm{SQD}_{X}=4379{,}875,\qquad \mathrm{SQD}_{Y}=627{,}5,\qquad \mathrm{SPD}_{XY}=1201{,}25,\\\ &X_{\min}=115,\quad X_{\max}=190,\quad n=8,\\\ &X_{3}=122,\quad Y_{3}=45. \end{aligned}

Passo 2

Calcular as médias amostrais (muito importante: sempre comece por aqui ao fazer regressão). Fórmula da média amostral de X:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
Aplicando os valores dados:
\bar{X}=\frac{1085}{8}=135{,}625.
Analogamente para Y:
\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i=\frac{310}{8}=38{,}75.
Explicação rápida: \bar{X} e \bar{Y} são os centros dos dados em X e Y; a reta de regressão gira em torno desses centros.

Passo 3

Lembrando as fórmulas da regressão linear simples (vou explicar cada uma):
  • O coeficiente angular (declive) b_{1} é dado por
b_{1}=\frac{\mathrm{SPD}_{XY}}{\mathrm{SQD}_{X}},
onde \mathrm{SPD}_{XY}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) (soma dos produtos dos desvios) e \mathrm{SQD}_{X}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2} (soma dos quadrados dos desvios de X). Essas quantidades já foram fornecidas no enunciado: \mathrm{SPD}_{XY}=1201{,}25 e \mathrm{SQD}_{X}=4379{,}875. Então calculamos:
b_{1}=\frac{1201{,}25}{4379{,}875}.
Vou dividir e arredondar com cuidado (mantendo precisão razoável para prova). Fazendo a divisão obtemos
b_{1}\approx 0{,}27438.
Interpretação da fórmula: b_{1} mede quanto, em média, Y varia quando X aumenta uma unidade (aqui uma unidade de X é 1\\ \mathrm{mm} de chuva).

Passo 4

Agora calculamos o intercepto b_{0} pela relação
b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\bar{X}.
Substituindo os valores já calculados:
b_{0}=38{,}75-(0{,}27438)(135{,}625).
Calculo detalhado:
(0{,}27438)(135{,}625)\approx 37{,}21317,
logo
b_{0}\approx 38{,}75-37{,}21317=1{,}53683.
Explicação: b_{0} é o valor previsto de Y quando X=0 (é onde a reta cruza o eixo Y). Nem sempre tem sentido prático (pode ser extrapolação), mas é parte da equação da reta.

Passo 5

Escrevendo a equação da regressão com os coeficientes obtidos. A equação de regressão estimada (previsão de Y dado X) é:
\hat{Y}=b_{0}+b_{1}X.
Substituindo os valores:
\hat{Y}\approx 1{,}53683+0{,}27438\,X.
Comentário didático: na prova, escreva a reta com pelo menos 3 casas decimais; eu mantive 5 casas em cálculos intermediários e apresento 5 para consistência, mas para resposta 3 casas é suficiente.

Passo 6

(b) Estimativa da produção para X=122\\ \mathrm{mm}. Basta substituir X=122 na equação:
\hat{Y}(122)=1{,}53683+(0{,}27438)(122).
Calculemos:
(0{,}27438)(122)\approx 33{,}47470,
então
\hat{Y}(122)\approx 1{,}53683+33{,}47470=35{,}01153.
Interpretação: a previsão da produção para região com 122\\ \mathrm{mm} é aproximadamente 35{,}01 (na unidade de massa usada nos dados).

Passo 7

(c) Desvio (resíduo) para a observação 3. O resíduo é
e_{3}=Y_{3}-\hat{Y}_{3}.
Temos Y_{3}=45 (dados) e \hat{Y}_{3}=\hat{Y}(122) calculado no passo anterior ( \approx 35{,}01153). Então
e_{3}=45-35{,}01153\approx 9{,}98847.
Interpretação: o resíduo positivo indica que a produção observada ( 45) foi cerca de 9{,}99 unidades maior que o valor previsto pela regressão; ou seja, esse ponto ficou acima da reta.

Passo 8

(d) Interpretação detalhada do coeficiente de regressão b_{1} (já calculado): \displaystyle b_{1}\approx 0{,}27438.
Significado prático: para cada aumento de 1\\ \mathrm{mm} na chuva, a produção média de soja aumenta, em média, cerca de 0{,}27438 unidades de produção (a unidade de Y que os dados usam). Em termos mais amigáveis: um aumento de 10\\ \mathrm{mm} resultaria, em média, em aumento de cerca de 2{,}7438 unidades de produção. Observação importante: isso é uma associação média observada nos dados; não prova causalidade absoluta, mas sugere que mais chuva está associada a maior produção, no intervalo observado.

Passo 9

(e) Interpretação detalhada do intercepto b_{0}: \displaystyle b_{0}\approx 1{,}53683.
Significado prático: b_{0} é o valor previsto de Y quando X=0. Aqui ele é pequeno e positivo ( \approx 1{,}54), mas como os dados têm X mínimos em 115\\ \mathrm{mm}, tomar X=0 é extrapolar muito além do intervalo observado; portanto esse valor tem pouco sentido físico prático, servindo apenas como parâmetro matemático da reta. Em provas, diga isso: interpretável matematicamente, mas não confiável para previsão fora da faixa dos dados.

Passo 10

(f) Calcular o coeficiente de correlação amostral r. Fórmula:
r=\frac{\mathrm{SPD}_{XY}}{\sqrt{\mathrm{SQD}_{X}\,\mathrm{SQD}_{Y}}}.
Usando os valores fornecidos:
r=\frac{1201{,}25}{\sqrt{4379{,}875\cdot 627{,}5}}.
Calculemos o denominador:
4379{,}875\cdot 627{,}5\approx 2\,748\,371{,}5625,
portanto
\sqrt{2\,748\,371{,}5625}\approx 1657{,}822.
Assim
r\approx \frac{1201{,}25}{1657{,}822}\approx 0{,}7249.
Interpretação: r\approx 0{,}725 indica uma correlação positiva moderada a forte entre índice pluviométrico e produção; ou seja, quando X aumenta, Y tende a aumentar de forma relativamente consistente, mas não perfeita (não é 1).

Passo 11

(g) Coeficiente de determinação R^{2}. Fórmula:
R^{2}=r^{2}.
Com r\approx 0{,}7249,
R^{2}\approx (0{,}7249)^{2}\approx 0{,}5255.
Interpretação: cerca de 52{,}55\% da variação observada em Y (produção) pode ser explicada pela variação em X (índice pluviométrico) através do modelo linear; o restante ( \approx 47{,}45\%) é devido a outros fatores ou variabilidade não explicada pelo modelo linear simples. Em termos práticos: a chuva é um fator importante (explica mais da metade da variabilidade), mas não explica tudo.

Resposta

a) \displaystyle \hat{Y}\approx 1{,}53683+0{,}27438\,X.
b) \displaystyle \hat{Y}(122)\approx 35{,}01153.
c) \displaystyle e_{3}=Y_{3}-\hat{Y}_{3}\approx 45-35{,}01153\approx 9{,}98847.
d) \displaystyle b_{1}\approx 0{,}27438 — para cada aumento de 1\\ \mathrm{mm} de chuva, a produção média aumenta cerca de 0{,}27438 unidades.
e) \displaystyle b_{0}\approx 1{,}53683 — valor previsto de Y quando X=0; matematicamente relevante, porém sem sentido prático forte aqui (extrapolação fora do intervalo observado).
f) \displaystyle r\approx 0{,}7249 — correlação positiva moderada/forte entre chuva e produção.
g) \displaystyle R^{2}\approx 0{,}5255 — cerca de 52{,}55\% da variabilidade da produção é explicada pela variação do índice pluviométrico segundo o modelo linear.

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